Cauchys integralkriterium

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Cauchys integralkriterium används inom matematiken till att avgöra om en talserie är konvergent eller divergent genom att jämföra med motsvarande integral.

Om f(x)\ är positiv och avtagandeintervallet [1,\infty[ gäller att

\sum_{k=1}^{\infty} f(k)\ är konvergent om och endast om \int_{1}^{\infty} f(x)\;dx\ är det

Bevis[redigera | redigera wikitext]

Eftersom f(x) är avtagande gäller f(x) \leq f(k)\ om x \geq k \ . Alltså gäller

\int_{k}^{k+1} f(x) \;dx \leq \int_{k}^{k+1} f(k) \;dx = \left[f(k) \cdot x\right]_{k}^{k+1} = f(k).
\int_{1}^{\infty} f(x) \;dx = \sum_{k=1}^{\infty} \int_{k}^{k+1} f(x) \;dx \leq \sum_{k=1}^{\infty} f(k)

Dvs om serien är konvergent är integralen konvergent

På samma sätt gäller

\int_{k}^{k+1} f(x) \;dx \geq \int_{k}^{k+1} f(k+1) \;dx = \left[f(k+1) \cdot x\right]_{k}^{k+1} = f(k+1).
\int_{1}^{\infty} f(x) \;dx = \sum_{k=1}^{\infty} \int_{k}^{k+1} f(x) \;dx \geq \sum_{k=1}^{\infty} f(k+1) = \left(\sum_{k=1}^{\infty} f(k) \right) - f(1)

Dvs om integralen är konvergent är serien konvergent

Alltså är serien konvergent om och endast om integralen är konvergent

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Den harmoniska serien[redigera | redigera wikitext]

\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \ldots är konvergent om och endast om \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x}\;dx \ är det. Detta är dock inte fallet, eftersom
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} \;dx = \left[\ln x\right]_1^{\infty} = \infty\