Cauchys integralkriterium
Utseende
Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2022-09) Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan. |
Cauchys integralkriterium används inom matematiken till att avgöra om en talserie är konvergent eller divergent genom att jämföra med motsvarande integral.
Om är positiv, kontinuerlig och avtagande på intervallet gäller att
- är konvergent om och endast om är det
Bevis
[redigera | redigera wikitext]Eftersom f(x) är avtagande gäller om . Alltså gäller
Dvs om serien är konvergent är integralen konvergent
På samma sätt gäller
Dvs om integralen är konvergent är serien konvergent
Alltså är serien konvergent om och endast om integralen är konvergent
Exempel
[redigera | redigera wikitext]- är konvergent om och endast om är det. Detta är dock inte fallet, eftersom