Cauchys integralkriterium

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Cauchys integralkriterium används inom matematiken till att avgöra om en talserie är konvergent eller divergent genom att jämföra med motsvarande integral.

Om är positiv och avtagandeintervallet gäller att

är konvergent om och endast om är det

Bevis[redigera | redigera wikitext]

Eftersom f(x) är avtagande gäller om . Alltså gäller

Dvs om serien är konvergent är integralen konvergent

På samma sätt gäller

Dvs om integralen är konvergent är serien konvergent

Alltså är serien konvergent om och endast om integralen är konvergent

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Den harmoniska serien[redigera | redigera wikitext]

är konvergent om och endast om är det. Detta är dock inte fallet, eftersom