Harmoniska serien

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Den harmoniska serien är inom matematik den oändliga serien

Serien är divergent[förtydliga]; dess summa är oändlig.

Bevis för divergens[redigera | redigera wikitext]

Det första beviset för att den harmoniska serien divergerar gavs av Nicolas Oresme (1320-1382). Oresme grupperade termerna som

och observerade att varje grupp är större än motsvarande grupp i serien

som uppenbarligen divergerar.

Ett bevis som inte använder sig av Oresmes oändligt många grupperingar, men ändå tar vara på hans idé, är följande resonemang.

Om den harmoniska serien konvergerar så skall skillnaden mellan två godtyckliga delsummor och gå mot talet 0, då index n och m växer mot oändligheten oberoende av varandra.

Sekvensen är då en så kallad Cauchy-följd. Varje konvergent sekvens är en Cauchy-följd, men det finns Cauchy-följder som inte konvergerar.

Skillnaden mellan delsummorna

och

är differensen

Denna differens är större än talet om  :

Detta visar att differensen inte går mot noll då index n och m går mot oändligheten oberoende av varandra. Därför är den harmoniska serien divergent.

Den harmoniska serien kan även visas divergera med hjälp av Integraltestet. Motsvarande integral är

där ln betecknar den naturliga logaritmen.

Det faktum att den harmoniska serien är divergent låter oss dra slutsatsen att det finns så många divergenta serier att vi inte ens kan räkna upp dem! Det resultat som låter oss dra denna slutsats är det så kallade jämförelsekriteriet:

Om och är två sekvenser av positiva tal sådana att för varje index n, så är serien konvergent om serien är konvergent, och serien är divergent om serien är divergent.

Låt vara den harmoniska sekvensen

och vara sekvensen där är ett godtyckligt tal. Järförelsekriteriet låter oss dra slutsatsen att serien

är divergent, eftersom den harmoniska serien är divergent. Detta gäller för varje val av talet och eftersom det finns fler sådana tal än vad vi kan räkna upp (överuppräkneligt många), finns det fler divergenta serier än vad vi kan räkna upp.

Den harmoniska serien utgör ett exempel på att termer som går mot noll inte är ett tillräckligt villkor för att en serie ska vara konvergent.

Delsummor[redigera | redigera wikitext]

Den n-te delsumman

kallas för ett harmoniskt tal. De harmoniska talen är för n = 1, 2, 3, ... lika med

Den harmoniska serien divergerar trots att delsummorna växer långsamt: exempelvis krävs 12367 termer innan summan överstiger 10, och cirka 1,509 × 1043 innan den överstiger 100.

Tillväxthastigheten för delsummorna är ungefär densamma som för den naturliga logaritmen. Skillnaden då n går mot oändligheten är ändlig och lika med talet

som kallas Eulers konstant.

Varianter[redigera | redigera wikitext]

Serien divergerar även om endast termer med primtal i nämnaren tas med:

där pk betecknar det k-te primtalet. Beviset, som är betydligt mer komplicerat än det för den vanliga harmoniska serien, gavs först av Leonhard Euler.

Euler visade även följande koppling mellan den harmoniska serien och primtalen; Ett resultat som gav upphov till det som vi idag kallar analytisk talteori:

Det faktum att den harmoniska serien är divergent låter oss dra slutsatsen att det finns oändligt många primtal.

Om varje term i den harmoniska serien kvadreras fås däremot den konvergenta serien

Problemet att bestämma denna summa är känt som Baselproblemet, och även detta löstes av Euler. Om exponenten 2 ersätts med ett godtyckligt komplext tal uppkommer den så kallade Riemanns zetafunktion.

Den alternerande harmoniska serien

konvergerar mot den naturliga logaritmen av talet 2, ; Anledningen till detta är att varje alternerande serie, vars termer går mot noll, konvergerar; Konvergensen mot just kan bevisas genom att beräkna Taylorserien för den naturliga logaritmen.