Diofantisk ekvation

Diofantiska ekvationer har fått sitt namn av den grekiske matematikern Diofantos som var verksam under mitten av 200-talet och studerade denna typ av ekvationer. Det som utmärker en diofantisk ekvation är inte dess utseende utan att den endast tillåter heltalslösningar. Alla ekvationer kan således ses som diofantiska ekvationer och skillnaden blir att endast de lösningar som tillhör de hela talen godtas. De diofantiska ekvationerna är vanligtvis (men inte nödvändigtvis) polynomekvationer med heltalskoefficienter av godtycklig grad med ett godtyckligt antal variabler. Då alla termer (i båda leden) har samma grad i en diofantisk ekvation kallas den för homogen.

Det slags diofantiska ekvationer man oftast träffar på i undervisningssituationer är de linjära, där varje term har grad högst ett. I många läroböcker avses endast eller främst linjära diofantiska ekvationer med termen diofantisk ekvation. De linjära diofantiska ekvationerna är algoritmiskt lösbara. Det tionde av de klassiska Hilbertproblemen var att ge en algoritm för lösandet av diofantiska ekvationer av godtyckliga gradtal. Det har dock visat sig att någon sådan allmän algoritm inte kan existera.

Lösningar till diofantiska ekvationer

Eftersom diofantiska ekvationer endast tillåter heltalslösningar är många omöjliga att lösa. Beroende på ekvationens utseende, antalet variabler och grad, kan en diofantisk ekvation ha allt ifrån noll till ett oändligt antal lösningar. Ett av David Hilberts tjugotre problem handlar om diofantiska ekvationer (problem nummer 10). Frågan som ställs är om det finns en algoritm som kan användas för att bestämma om en given polynomiell diofantisk ekvation med heltalskofficienter har en heltalslösning. Svaret på frågan är "Nej" och bevisas av Matiyasevichs. Det finns även andra intressanta satser bl.a. Thues sats, efter Axel Thue, som säger att en homogen diofantisk ekvation med grad större än 3 har ett ändligt antal lösningar.

Linjära diofantiska ekvationer

Linjära diofantiska ekvationer är polynomekvationer på formen a₁x₁ + a₂x₂ + .... + a_nx_n = c där a₁, a₂, ..., a_n är nollskilda heltalskonstanter, c är en heltalskonstant, och x₁, x₂, ..., x_n är variabler, "de obekanta". Dessa diofantiska ekvationer kan lösas algoritmiskt. Det från algoritmisk synpunkt viktigaste fallet är när n = 2. Ekvationen kan då också skrivas ax + by = c.

Den linjära diofantiska ekvationen har lösningar precis om den största gemensamma delaren av alla koefficienter delar c. I envariabelfallet betyder detta att a₁ skall dela c, det vill säga att c = a₁s för något heltal s. I detta fall har ekvationen den unika lösningen x₁ = s.

I tvåvariabelfallet har vi följande sats.

Om $(x_{0},y_{0})$ är en lösning till den diofantiska ekvationen $ax+by=c$ där $a,b,c$ tillhör de hela talen fås alla lösningar av

$\left\{{\begin{matrix}x=x_{0}-n{\cfrac {b}{d}}\\y=y_{0}+n{\cfrac {a}{d}}\end{matrix}}\right.$,

där $d=SGD(a,b)$ är den största gemensamma delaren av heltalen $a$ och $b$ och där $n$ är ett godtyckligt heltal.

För tre eller flera variabler kan liknande slutsatser dras.

Icke-linjära diofantiska ekvationer

Skillnaden mellan de linjära och icke-linjära diofantiska ekvationerna är att de icke-linjära har variabler med grad högre än 1 och kan dessutom innehålla produkter av två eller fler av de ingående variablerna.

Kända diofantiska ekvationer

Genom historien har ett antal diofantiska ekvationer uppkommit och vissa har blivit mer kända än andra. Nedan följer några välkända diofantiska ekvationer.

Pythagoras sats

Ekvationen a² + b² = c² och dess heltalslösningar utgör sidorna i en rätvinklig triangel och kallas ofta för Pythagoranska tripplar.

Den mest kända lösningen är a=3, b=4, c=5 vilken kallas den egyptiska triangeln.

Fermats "sista sats"

Ekvationen $x^{n}+y^{n}=z^{n}$ för $n>2$ saknar lösningar och kallas för Fermats förmodan eller Fermats sista sats efter den franske 1600-talsmatematikern Pierre de Fermat. Satsen kunde bevisas först efter 350 år.

Pells ekvation

x²-ny² = 1, där n är ett positivt heltal men ej en heltalskvadrat, kallas för Pells ekvation efter den engelske matematikern John Pell.
Exempel: x²-5y² = 1 löses t. ex. av x = 9, y = 4.

Referenser

• L.J. Mordell (1969). Diophantine equations. Academic Press. ISBN 0125062508 
• H. Cohen (2007). Number theory. Vol. 1, Tools and diophantine equations. Springer Science+Business Media. ISBN 0387499229