Eichler–Shimuras kongruensrelation

Inom matematiken är Eichler–Shimuras kongruensrelation ett resultat som uttrycker den lokala L-funktionen av en modulär kurva vid ett primtal med hjälp av egenvärdena av Heckeoperatorer. Den introducerades av Eichler (1954) och generaliserades av Shimura (1958). Ungefärligt sagt säger den att korrespondensen av modulära kurvan som framkallar Heckeoperatorn T_p är kongruent mod p till summan av Frobeniusautomorfin Frob och dess transponat Ver. I andra ord är

T_p = Frob + Ver

som endomorfier av Jacobianen J₀(N)_{F_p} av modulära kurvan X₀N över ändliga kroppen F_p.

Eichler–Shimuras kongruensrelation och dess generaliseringar till Shimuravarieteter spelar en viktig roll inom Langlands program genom att identifiera en del av Hasse–Weils zetafunktion av en modulär kurva eller en mer allmän modulär varietet med produkten av Mellintransformationer av modulära former av 2 eller en produkt av analoga automorfiska L-funktioner.

Referenser

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Eichler–Shimura congruence relation, 25 juni 2014.

Eichler, Martin (1954), ”Quaternäre quadratische Formen und die Riemannsche Vermutung für die Kongruenzzetafunktion”, Archiv für Mathematische Logik und Grundlagenforschung 5: 355–366, doi:10.1007/BF01898377, MR 0063406, ISSN 0003-9268
Ilya Piateckii-Shapiro, Zeta functions of modular curves, in Modular functions of one variable II (Antwerp 1972), Lecture Notes in Mathematics, 349, pp. 317–360
Shimura, Goro (1958), ”Correspondances modulaires et les fonctions ζ de courbes algébriques”, Journal of the Mathematical Society of Japan 10: 1–28, doi:10.4099/jmath.10.1, MR 0095173, ISSN 0025-5645
Goro Shimura, Introduction to the arithmetic theory of automorphic functions, Publ. of Math. Soc. of Japan, 11, 1971