Modulär form

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Inom matematiken är en modulär form en (komplex) analytisk funktion i övre halvplanet som satisfierar en viss funktionalekvation med avseende på gruppverkan av modulära gruppen, samt satisfierar ett visst krav på tillväxten. Teorin om modulära former är en del av komplex analys. Modulära former är viktiga inom talteori och förekommer även inom algebraisk topologi och strängteori.

Modulära former för SL2(Z)[redigera | redigera wikitext]

En modulär form av vikt k för modulära gruppen

är en komplexvärd funktion f i övre halvplanet H = {zC, Im(z) > 0}, som satisfierar följande tre krav: för det första är f en analytisk funktion över H. För det andra gäller för alla z i H och en godtycklig matris i SL(2,Z) ekvationen

För det tredje bör f vara analytisk då zi. Vikten k är vanligen ett positivt heltal.

Det andra kravet, med matriserna och , är

och

.

Eftersom S och T genererar modulära gruppen SL(2,Z) är det andra kravet ovan ekvivalent till dessa två ekvationer. Notera att eftersom

är modulära funktioner periodiska funktioner med period 1 och har härmed en Fourierserie.

Notera att för udda k kan bara 0 satisfiera det andra kravet.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Funktionen som är konstant lika med noll är en modulär form av vikt k för alla tal k.

Varje konstant funktion är en modulär form av vikt 0.

Dedekinds etafunktion definieras som

Då är den modulära diskriminanten Δ(z) = η(z)24 en modulär form av vikt 12.

Automorfiska faktorer och andra generaliseringar[redigera | redigera wikitext]

Modulära former kan generaliseras genom att tillåta existensen av en funktion med så att

Funktioner av formen är kända som automorfiska faktorer.

En annan generalisering är Hilbert-modulära former.

Källor[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Modular form, 29 december 2013.
  • Jean-Pierre Serre, A Course in Arithmetic. Graduate Texts in Mathematics 7, Springer-Verlag, New York, 1973. Chapter VII provides an elementary introduction to the theory of modular forms.
  • Tom M. Apostol, Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory (1990), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-97127-0
  • Goro Shimura, Introduction to the arithmetic theory of automorphic functions. Princeton University Press, Princeton, N.J., 1971. Provides a more advanced treatment.
  • Stephen Gelbart, Automorphic forms on adele groups. Annals of Mathematics Studies 83, Princeton University Press, Princeton, N.J., 1975. Provides an introduction to modular forms from the point of view of representation theory.
  • Robert A. Rankin, Modular forms and functions, (1977) Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0-521-21212-X
  • Stein's notes on Ribet's course Modular Forms and Hecke Operators
  • Erich Hecke, Mathematische Werke, Goettingen, Vandenhoeck & Ruprecht, 1970.
  • N.P. Skoruppa, D. Zagier, Jacobi forms and a certain space of modular forms, Inventiones Mathematicae, 1988, Springer