Eulers ekvationer

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Eulers ekvationer beskriver rörelsen hos ideala fluider, dvs inkompressibla fluider med konstant densitet. Ekvationerna formulerades av Leonhard Euler 1755.

Kraften som verkar på ett fluidelement beskrivs av

där p(x,y,z,t) är en skalär funktion oberoende av normalen, n, och benämns tryck.

Om vi fixerar en kub med volymen, V, i fluiden och sidan S som har normalen riktad ut från kuben, så kommer flödet in i V via vissa delar av S och ut från andra. Hastighetskomponenten längs normalen är u n, vilket ger att volymen som lämnar kuben genom en liten del av ytan, S under en tidsenhet blir u n S. Nettovolymen av utflödet blir då

Detta är självklart noll för en inkompressibel fluid och med hjälp av divergenssatsen fås

Detta måste vara sant i hela fluiden. Anta nu att är större än noll i någon punkt i fluiden. Förutsatt kontinuitet[förtydliga] ger det att är större än noll i en liten sfär runt punkten och om V skulle vara den sfären så strider det mot ovanstående ekvation. Samma sak fås om är mindre än noll och därmed kan vi dra slutsatsen att

överallt i fluiden.

Följderna av uttrycket för kraften tydliggörs genom att betrakta en färgad blob av fluiden. Nettokraften som utövas på blobben är

Minustecknen kommer av att n är riktad ut från S. Förutsatt att är kontinuerlig, kommer trycket att vara konstant över en liten blob med volymen V. Nettokraften blir då V över blobben.

Nu kan vi lägga till gravitationens inverkan och får

Denna kraft måste vara samma som produkten av blobbens massa (som är konserverad) och dess acceleration, vilket är

Därmed får vi

som är de grundläggande rörelseekvationerna för en ideal fluid (Eulers ekvationer). Utskrivna blir de

Eftersom gravitationen är konservativ kan den skrivas som gradienten till en potential:

Nu kan Euler's ekvation skrivas om på formen

där förutsätts konstant.

Vidare kan det vara användbart att utnyttja identiteten

för att få rörelseekvationen på formen

Vilket leder till Bernoulli's strömlinjeteorem.

Källor[redigera | redigera wikitext]

  • D.J. Acheson, Elementary Fluid Dynamics, Oxford applied mathematics and computing science series. ISBN 978-0-19-859679-0.