Ett Favardmått eller integralgeometriskt mått är inom matematik ett mått som är viktigt för rektifierbara mängder. Favardmåttet är namngett efter den franska matematikern Jean Favard som uppfann det.
Favardmåttet är definierat med hjälp av Carathéodorys konstruktion. Man konstruerar det så att alla Borelmängder är testmängder och testmåttet är en speciell integral definierad med hjälp av Grassmannmåttet.
Mer precist, om
,
,
och för
![{\displaystyle \zeta _{t}^{m}(F):=\left\{{\begin{matrix}\left(\int _{G(n,m)}{\mathcal {H}}^{m}(P_{V}F)^{t}\,d\gamma _{n,m}(V)\right)^{1/t},&{\mbox{ om }}1\leq t<\infty \\{\mbox{ess sup}}\{{\mathcal {H}}^{m}(P_{V}F):V\in G(n,m)\},&{\mbox{ om }}t=\infty ,\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d17d4a162a3a7e05f8ac378176a34643f122f352)
där
- integralen
är måttintegralen med avseende på Grassmannmåttet ![{\displaystyle \gamma _{n,m},\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37e17d70e2ae9c2256be7dd748babe0f23ae498c)
- operatorn
är väsentligt supremum med avseende på Grassmannmåttet
.
Då är yttre måttet
definierad som:
![{\displaystyle {\mathcal {I}}_{t}^{m}(A):=\sup _{\delta >0}\inf \left\{\sum _{i=1}^{\infty }\zeta _{t}^{m}(F_{i}):A\subset \bigcup _{i=1}^{\infty }F_{i},\ d(F_{i})\leq \delta ,\ F_{i}\in {\mbox{Bor}}\,\mathbb {R} ^{n},\ i\in \mathbb {N} \right\},\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cd3bf96916948b6d85b537d175f7ba3c42133b9)
och detta är det m-dimensionella yttre Favardmåttet med konstanten
.
Där finns en lätt formel för Favardmåttet med konstanten
. Det går att visa att
![{\displaystyle {\mathcal {I}}_{1}^{m}(A)=\int _{G(n,m)}\int _{V}{\mathcal {H}}^{0}(A\cap P_{V}^{-1}\{v\})\,d{\mathcal {H}}^{m}(v)\,d\gamma _{n,m}(V),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb3124f4c4f51eb0c30f6ec807d8551833a5b384)
där
- måttet
är det nolldimensionella Hausdorffmåttet, dvs räknemåttet, och
![{\displaystyle P_{V}^{-1}\{v\}:=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:P_{V}(x)=v\}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb00cc2243a922142d223dfa357fdf33bdb3344a)
för
När konstanten t = 1 finns en intuitiv förklaring för namnet integralgeometriskt: låt
vara en rektifierbar kurva.
För en linje
räkna (med räknemåttet) alla punkter i snittmängden
och integrera (
) detta talet över alla linjer
. Detta talet (Favardmåttet) är längden för kurvan
.
Generellt, för
med
kan man sluta sig till samma utgång.
Favardmåttets egenskaper är inte väl känt. Det går att visa att
![{\displaystyle {\mathcal {I}}_{1}^{1}\neq {\mathcal {I}}_{t}^{1}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4522399cae8fc4f1259a3d9cb8d65dbebd4a1b69)
när
men man vet inte för vilka
det gäller att:
![{\displaystyle {\mathcal {I}}_{1}^{m}\neq {\mathcal {I}}_{t}^{m}.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bad64169150941914e3ba501a2701949fe20f3e2)
Dessutom man vet inte om det finns en konstant
så att
![{\displaystyle {\mathcal {I}}_{t}^{m}=c(t){\mathcal {I}}_{\infty }^{m}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51dc8a38e94d4cc38c4d881b3ce5d5521096bc06)
för alla
.
- J. Favard, Une définition de la longueur et de l'aire, C. R. Acad. Sci. Paris vol. 194 p. 344, 1932.
- H. Federer, Geometric Measure Theory, Springer-Verlag, 1969.
- P. Mattila, Geometry of Sets and Measures in Euclidean Spaces: Fractals and Rectifiability, Cambridge University Press, 1995.