Carathéodorys konstruktionen är en effektiv metod i måtteori för att konstruera Borels yttre mått i metriska rum som kallas yttre Carathéodorymåttet. Metoden uppkallat efter grekisk matematikern Constantin Carathéodory.
Carathéodorys idé var att använda den metriska strukturen så att vi täcka en mängd med vissa testmängder och "mäta" dem med ett testmått. Sedan definierar man måttet på samma sätt som Lebesguemåttet.
Först behövs några definitioner för konstruktionen. Låt
vara ett metriskt rum.
Mängden
är en testmängdfamilj om det för varje
finns mängder
så att
och
,
för alla
.
är diametern för
.
Låt
vara en testmängdfamilij. Funktionen
är ett testmått om det för varje
finns en mängd
så att
och
.
Om
, definierar man att en uppräknelig familj
är en
-övertäckning för mängden
om
och ![{\displaystyle d(E)\leq \delta \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b0e5e817ab6867532a64e4e5994703a9ae65873)
för alla
.
Låt
vara ett metriskt rum,
en testmängdfamilij och
ett testmått.
För
och
definierar vi
![{\displaystyle {\mathcal {C}}_{\delta }(A):=\inf \left\{\sum _{E\in {\mathcal {E}}}\zeta (E):{\mathcal {E}}\subset {\mathcal {F}}{\mbox{ är }}A{\mbox{:s }}\delta {\mbox{-overtäckning}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/005328b4d8338e175142fbb8ce45f17f289ddaad)
Eftersom
är en testmängdfamilj finns det även en
-övertäckning för X. Så att
är en funktion
,
som kallas
-Carathéodoryinnehållet.
Om
och
finns det mindre
-övertackningar för
, dvs funktionen
är växande när
. Därför existerar gränsvärden
, dvs vi kan definiera gränsfunktionen
,
som kallas yttre Carathéodorymåttet.
Man kan visa att yttre Carathéodorymåttet är ett Borel yttre mått och om
så är yttre Carathéodorymåttet ett Borelregelbundet yttre mått.
Carathéodorys konstruktion är en mycket effektiv metod, då man kan definiera många naturliga mått med det.
- Huvudartikel: Hausdorffmått.
Det viktigaste exemplet är det s-dimensionella yttre Hausdorffmåttet. Konstrionen går till så att testmängderna är alla mängder och testmåttet är diametern upphöjat till s.
Mer precist, om
och
- metriska rummet
är separabelt,
- testmängdfamiljen är
och
- testmåttet
för ![{\displaystyle F\in {\mathcal {F}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f63bed964e89bbd2f00f55a26858febaa674872)
så är
-Carathéodoryinnehållet det s-dimensionella
-Hausdorffinnehållet
![{\displaystyle {\mathcal {C}}_{\delta }={\mathcal {H}}_{\delta }^{s}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ca3370e2d4c34716afca1aee71b2d417ab3b797)
och yttre Carathéodorymåttet det s-dimensionella yttre Hausdorffmåttet
.
- Huvudartikel: Lebesguemått.
Andra exempel är det n-dimensionella yttre Lebesguemåttet som är
-Carathéodoryinnehållet i
. Vi konstruerar det så att alla n-intervall är testmängder och testmåttet är det geometriska måttet för n-intervall.
Mer precist, om
och
- metriska rummet
,
- testmängdfamiljen är
(familjen av alla n-intervall) och
- testmåttet är geometriska måttet
för ![{\displaystyle I\in {\mathcal {F}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1745c9247c0ce238a088410484d9641ff57fb1cb)
så är
-Carathéodoryinnehållet det n-dimensionella yttre Lebesguemåttet
![{\displaystyle {\mathcal {C}}_{\infty }={\mathcal {L}}_{n}^{*}.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9048e179863d38518c317e3c951333f88b6a2039)
- Huvudartikel: Favardmått.
Ett speciellt exempel för Carathéodorys konstruktion är att man kan konstruera Favardmåttet i
med det. Vi konstruerar det så att alla Borelmängder är testmängder och testmåttet är en speciellt integralen definierad med hjälp av Grassmannmåttet.
Mer precist, om
,
,
och
- metriska rummet
,
- testmängdfamiljen är
och
- testmåttet för
är:
![{\displaystyle \zeta (F)=\left\{{\begin{matrix}\left(\int _{G(n,m)}{\mathcal {H}}^{m}(P_{V}F)^{t}\,d\gamma _{n,m}(V)\right)^{1/t},&{\mbox{ om }}1\leq t<\infty \\{\mbox{ess sup}}\{{\mathcal {H}}^{m}(P_{V}F):V\in G(n,m)\},&{\mbox{ om }}t=\infty ,\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e18a98125518a028e9f218fa5d322f3a6b4146e)
där
- operatoren
är väsentligt supremum med avseende på Grassmannmåttet
.
Då är yttre Carathéodorymåttet det m-dimensionella yttre Favardmåttet med konstanten
:
.
- A. N. Kolmogorov & S. V. Fomin, Introductory Real Analysis, Dover, New York, 1970 ISBN 0-486-61226-0