Aritmetisk-geometriskt medelvärde

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Det aritmetisk-geometriska medelvärdet (AGM) är ett medelvärde av två tal som fås genom att ta deras aritmetiska respektive geometriska medelvärden och i oändligheten rekursivt upprepa samma procedur med dessa. Givet två tal x och y, erhålles agm(x, y) utifrån

a_1 = x,\,\!
b_1 = y,\,\!
a_{n+1} = \frac{a_n+b_n}{2},

och

b_{n+1} = \sqrt{a_n b_n}.

Sekvenserna a och b konvergerar mot ett gemensamt värde, vilket ger det aritmetisk-geometriska medelvärdet,

\mathrm{agm}(x, y) = \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} b_n

Det aritmetisk-geometriska medelvärdet av två tal ligger alltid mellan talens geometriska och aritmetiska medelvärden. Om r > 0 gäller också att

\mathrm{agm}(rx,ry) = r \,\mathrm{agm}(x,y).\,\!

Det aritmetisk-geometriska medelvärdet utnyttjas bland annat av Gauss-Legendres algoritm som är ett mycket effektivt sätt att beräkna π numeriskt. Gauss konstant, G, kan också definieras som reciproken av det aritmetisk-geometriska medelvärdet av 1 och roten ur två,

 G = \frac{1}{\mathrm{agm}(1, \sqrt{2})}.