Kardinalitetmått

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Ett kardinalitetmått eller räknemått är ett mått som mäter kardinaliteten för mängder. Kardinalitetmåttet används mestadels som ett enkelt exempel för mått men det också har tillämpningar i serieteori.

Definition[redigera | redigera wikitext]

Låt vara en mängd. Kardinalitetmåttet för mängden är en funktion , definierad som:

där card(A) är kardinaliteten för mängden A. Kardinalitetmåttet är ett mått.

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Det finns en koppling mellan kardinalitetmått och Diracmått: om så är

Kardinalitetmått är nolldimensionella Hausdorffmått:

Serieteori[redigera | redigera wikitext]

Kardinalitetmåttet har tillämpningar i serieteori. Om är uppräknelig, d.v.s.

,

är kardinalitetmåttets måttintegral en serie: om är

Alltså f är integrerbar om och endast om serien är absolutkonvergent.

Detta innebär också att vi man kan bevisa Hölders olikhet och Minkowskis olikhet för serier med Lp-normens Hölders och Minkowskis olikheter som är till för integraler.

Referenser[redigera | redigera wikitext]

  • P. Halmos, Measure theory, D. van Nostrand and Co., 1950
Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.