Hoppa till innehållet

Kardinalitetmått

Från Wikipedia

Ett kardinalitetmått eller räknemått är ett mått som mäter kardinaliteten för mängder. Kardinalitetmåttet används mestadels som ett enkelt exempel för mått men det också har tillämpningar i serieteori.

Låt vara en mängd. Kardinalitetmåttet för mängden är en funktion , definierad som:

där card(A) är kardinaliteten för mängden A. Kardinalitetmåttet är ett mått.

Det finns en koppling mellan kardinalitetmått och Diracmått: om så är

Kardinalitetmått är nolldimensionella Hausdorffmått:

Kardinalitetmåttet har tillämpningar i serieteori. Om är uppräknelig, d.v.s.

,

är kardinalitetmåttets måttintegral en serie: om är

Alltså f är integrerbar om och endast om serien är absolutkonvergent.

Detta innebär också att vi man kan bevisa Hölders olikhet och Minkowskis olikhet för serier med Lp-normens Hölders och Minkowskis olikheter som är till för integraler.

  • P. Halmos, Measure theory, D. van Nostrand and Co., 1950