Lista över trigonometriska identiteter

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Alla trigonometriska funktioner för en vinkel θ kan konstrueras geometriskt i termer av en enhetscirkel med centrum i punkten O

Grundläggande[redigera | redigera wikitext]

Funktioner[redigera | redigera wikitext]

\cos(x) = \sin\left(x + \frac {\pi} {2}\right)
\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}
\cot(x)= \frac{\cos(x)}{\sin(x)} = \frac{1}{\tan(x)}
\sec(x) = \frac{1}{\cos(x)}
\csc(x) = \frac{1}{\sin(x)}

Perioder[redigera | redigera wikitext]

Sinus, cosinus, sekant och cosekant har perioden 2π. Tangens och cotangens har perioden π. Om k är ett heltal gäller:

\begin{align}
\sin(x) &= \sin(x + 2k\pi) \\
\cos(x) &= \cos(x + 2k\pi) \\
\tan(x) &= \tan(x + k\pi) \\
\cot(x) &= \cot(x + k\pi) \\
\sec(x) &= \sec(x + 2k\pi) \\
\csc(x) &= \csc(x + 2k\pi) \\
\end{align}

Symmetri[redigera | redigera wikitext]

\begin{align}
\sin(-x) &= -\sin(x) & \sin\left(\tfrac{\pi}{2} - x\right) &= \cos(x) & \sin\left(\pi - x\right) &= +\sin(x)   \\
\cos(-x) &= +\cos(x) & \cos\left(\tfrac{\pi}{2} - x\right) &= \sin(x) & \cos\left(\pi - x\right) &= -\cos(x)   \\
\tan(-x) &= -\tan(x) & \tan\left(\tfrac{\pi}{2} - x\right) &= \cot(x) & \tan\left(\pi - x\right) &= -\tan(x)   \\
\end{align}

En funktion f(x) kallas udda om f(-x) = -f(x) och kallas jämn om f(-x) = f(x). Till exempel är cosinusfunktionen jämn och sinus- och tangensfunktionerna är udda.

Förskjutningar[redigera | redigera wikitext]

\begin{align}
\sin\left(x + \tfrac{\pi}{2}\right) &= +\cos(x) & \sin\left(x + \pi\right) &= -\sin(x)   \\
\cos\left(x + \tfrac{\pi}{2}\right) &= -\sin(x) & \cos\left(x + \pi\right) &= -\cos(x)   \\
\tan\left(x + \tfrac{\pi}{2}\right) &= -\cot(x) & \tan\left(x + \pi\right) &= +\tan(x)   \\
\end{align}

Samband för en vinkel[redigera | redigera wikitext]

Trigonometriska ettan[redigera | redigera wikitext]

\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1
\sin(x) = \pm \sqrt{1 - \cos^2(x)}
\cos(x) = \pm \sqrt{1 - \sin^2(x)}

Relaterade identiteter[redigera | redigera wikitext]

1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta
1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta

Dubbla vinkeln[redigera | redigera wikitext]

\begin{align}
\sin(2x) &= 2 \sin (x) \cos(x) \\
\cos(2x) &= \cos^2(x) - \sin^2(x) = \\
 &= 2 \cos^2(x) - 1 = \\
 &= 1 - 2 \sin^2(x) \\
\tan(2x) &= \frac{2 \tan(x)} {1 - \tan^2(x)} \\
\cot(2x) &= \frac{\cot(x) - \tan(x)} {2} \\
\end{align}

Tredubbla vinkeln[redigera | redigera wikitext]

\begin{align}
\sin(3x) &= 3 \sin(x)- 4 \sin^3(x) \\
\cos(3x) &= 4 \cos^3(x) - 3 \cos(x) \\
\tan(3x) &= \frac{3 \tan(x) - \tan^3(x)}{1 - 3 \tan^2(x)} \\
\cot(3x) &= \frac{\cot^3(x) - 3 \cot(x)}{3 \cot^2(x) - 1} \\
\end{align}

Halva vinkeln[redigera | redigera wikitext]

\begin{align}
\sin^2\left(\frac{x}{2}\right) &= \frac{1 - \cos(x)}{2} \\
\cos^2\left(\frac{x}{2}\right) &= \frac{1 + \cos(x)}{2} \\
\tan\left(\frac{x}{2}\right) &= \frac{\sin(x)}{1 + \cos(x)} &= \\
&= \frac{1 - \cos(x)}{\sin(x)} \\
\tan^2\left(\frac{x}{2}\right) &= \frac{1 - \cos(x)}{1 + \cos(x)} \\
\cot\left(\frac{x}{2}\right) &= \frac{\sin(x)}{1 - \cos(x)} &= \\
&= \frac{1 + \cos(x)}{\sin(x)} \\
\cot^2\left(\frac{x}{2}\right) &= \frac{1 + \cos(x)}{1 - \cos(x)} \\
\end{align}

Potenser[redigera | redigera wikitext]

\sin^2\theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}
\cos^2\theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}
\sin^2\theta \cos^2\theta = \frac{1 - \cos 4\theta}{8}
\sin^3\theta = \frac{3 \sin\theta - \sin 3\theta}{4}
\cos^3\theta = \frac{3 \cos\theta + \cos 3\theta}{4}
\sin^3\theta \cos^3\theta = \frac{3\sin 2\theta - \sin 6\theta}{32}
\sin^4\theta = \frac{3 - 4 \cos 2\theta + \cos 4\theta}{8}
\cos^4\theta = \frac{3 + 4 \cos 2\theta + \cos 4\theta}{8}
\sin^4\theta \cos^4\theta = \frac{3-4\cos 4\theta + \cos 8\theta}{128}
\sin^5\theta = \frac{10 \sin\theta - 5 \sin 3\theta + \sin 5\theta}{16}
\cos^5\theta = \frac{10 \cos\theta + 5 \cos 3\theta + \cos 5\theta}{16}
\sin^5\theta \cos^5\theta = \frac{10\sin 2\theta - 5\sin 6\theta + \sin 10\theta}{512}

Samband för två vinklar[redigera | redigera wikitext]

\begin{align}
\sin(x \pm y) &= \sin(x) \cos(y) \pm \cos(x) \sin(y) \\
\cos(x \pm y) &= \cos(x) \cos(y) \mp \sin(x) \sin(y) \\
\tan(x \pm y) &= \frac{\tan(x) \pm \tan(y)}{1 \mp \tan(x)\tan(y)} \\
\cot(x \pm y) &= \frac{\cot(x) \cot(y) \mp 1}{\cot(y) \pm \cot(x)} \\
\end{align}

Observera att \pm och \mp är olika tecken. Till exempel är cos(x + y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y) medan cos(x - y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y).

\begin{align}
\frac{\sin(x) - \sin(y)}{\sin(x) + \sin(y)} &= \frac{\tan\frac{x - y}{2}}{\tan\frac{x + y}{2}} \\
\frac{\cos(x) - \cos(y)}{\cos(x) + \cos(y)} &= -\tan\left( \frac{x + y}{2} \right) \tan\left( \frac{x - y}{2} \right) \\
\frac{\tan(x) - \tan(y)}{\tan(x) + \tan(y)} &= \frac{\sin(x - y)}{\sin(x + y)} \\
\frac{\cot(x) - \cot(y)}{\cot(x) + \cot(y)} &= -\frac{\sin(x - y)}{\sin(x + y)} \\
\end{align}

Summor[redigera | redigera wikitext]

\begin{align}
\sin(x) + \sin(y) &= 2 \sin\left( \frac{x + y}{2} \right) \cos\left( \frac{x - y}{2} \right) \\
\cos(x) + \cos(y) &= 2 \cos\left( \frac{x + y}{2} \right) \cos\left( \frac{x - y}{2} \right) \\
\tan(x) + \tan(y) &= \frac{\sin(x + y)}{\cos(x) \cos(y)} \\
\cot(x) + \cot(y) &= \frac{\sin(x + y)}{\sin(x) \sin(y)} \\
\end{align}

Differenser[redigera | redigera wikitext]

\begin{align}
\sin(x) - \sin(y) &= 2 \cos\left( \frac{x + y}{2} \right) \sin\left( \frac{x - y}{2} \right) \\
\cos(x) - \cos(y) &= -2 \sin\left( \frac{x + y}{2} \right) \sin\left( \frac{x - y}{2} \right) \\
\tan(x) - \tan(y) &= \frac{\sin(x - y)}{\cos(x) \cos(y)} \\
\cot(x) - \cot(y) &= -\frac{\sin(x - y)}{\sin(x) \sin(y)} \\
\end{align}

Produkter[redigera | redigera wikitext]

\begin{align}
\sin\left (x\right ) \sin\left (y\right ) &= {\cos\left (x - y\right ) - \cos\left (x + y\right ) \over 2} \\
\sin\left (x\right ) \cos\left (y\right ) &= {\sin\left (x - y\right ) + \sin\left (x + y\right ) \over 2} \\
\cos\left (x\right ) \cos\left (y\right ) &= {\cos\left (x - y\right ) + \cos\left (x + y\right ) \over 2} \\
\end{align}

Inversa funktioner[redigera | redigera wikitext]

Samband för en vinkel[redigera | redigera wikitext]

\begin{align}
\sin(\arcsin(x)) &= x &\quad \cos(\arccos(x)) &= x \\
\tan(\arctan(x)) &= x &\quad \cot(\arccot(x)) &= x \\
\sec(\arcsec(x)) &= x &\quad \csc(\arccsc(x)) &= x \\
\end{align}
\begin{align}
\arcsin(\sin(x)) &= x,\mbox{ för }-\pi/2 \leq x \leq \pi/2 \\
\arccos(\cos(x)) &= x,\mbox{ för }0 \leq x \leq \pi \\
\arctan(\tan(x)) &= x,\mbox{ för }-\pi/2 < x < \pi/2 \\
\arccot(\cot(x)) &= x,\mbox{ för }0 < x < \pi \\
\arcsec(\sec(x)) &= x,\mbox{ för }0 \leq x < \pi/2 \mbox{ eller }\pi/2 < x \leq \pi \\
\arccsc(\csc(x)) &= x,\mbox{ för }-\pi/2 \leq x < 0 \mbox{ eller }0 < x \leq \pi/2 \\
\end{align}

Kompletterande[redigera | redigera wikitext]

\begin{align}
\arccos(x) &= \frac{\pi}{2} - \arcsin(x) \\
\arccot(x) &= \frac{\pi}{2} - \arctan(x) \\
\arccsc(x) &= \frac{\pi}{2} - \arcsec(x) \\
\end{align}

Likheter för negativa argument[redigera | redigera wikitext]

\begin{align}
\arcsin(-x) &= - \arcsin(x) \\
\arccos(-x) &= \pi - \arccos(x) \\
\arctan(-x) &= - \arctan(x) \\
\arccot(-x) &= \pi - \arccot(x) \\
\arcsec(-x) &= \pi - \arcsec(x) \\
\arccsc(-x) &= - \arccsc(x) \\
\end{align}

Reciproka funktioner[redigera | redigera wikitext]

\begin{align}
\arccos \frac{1}{x} &= \arcsec(x) \\
\arcsin \frac{1}{x} &= \arccsc(x) \\
\arctan \frac{1}{x} &= \frac{\pi}{2} - \arctan(x) = \arccot(x),\text{ om }x > 0 \\
\arctan \frac{1}{x} &= -\frac{\pi}{2} - \arctan(x) = -\pi + \arccot(x),\text{ om }x < 0 \\
\arccot \frac{1}{x} &= \frac{\pi}{2} - \arccot(x) = \arctan(x),\text{ om }x > 0 \\
\arccot \frac{1}{x} &= \frac{3\pi}{2} - \arccot(x) = \pi + \arctan(x),\text{ om }x < 0 \\
\arcsec \frac{1}{x} &= \arccos(x) \\
\arccsc \frac{1}{x} &= \arcsin(x) \\
\end{align}

Samband för två vinklar[redigera | redigera wikitext]

\begin{align}
\arcsin\alpha \pm \arcsin\beta &= \arcsin\left(\alpha\sqrt{1-\beta^2} \pm \beta\sqrt{1-\alpha^2}\right) \\
\arccos\alpha \pm \arccos\beta &= \arccos\left(\alpha\beta \mp \sqrt{(1-\alpha^2)(1-\beta^2)}\right) \\
\arctan\alpha \pm \arctan\beta &= \arctan\left(\frac{\alpha \pm \beta}{1 \mp \alpha\beta}\right)
\end{align}

Se även[redigera | redigera wikitext]