Lista över trigonometriska identiteter

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Alla trigonometriska funktioner för en vinkel θ kan konstrueras geometriskt i termer av en enhetscirkel med centrum i punkten O

Lista över trigonometriska identiteter är en lista av ekvationer som involverar trigonometriska funktioner och som är sanna för varje enskilt värde av de förekommande variablerna. De skiljer sig från triangelidentiteter, vilka är identiteter som potentiellt involverar vinklar, men även omfattar sidolängder eller andra längder i en triangel. Endast de förstnämnda behandlas i denna artikel. Identiteterna är användbara när uttryck som involverar trigonometriska funktioner måste förenklas. En viktig tillämpning är integration av icke-trigonometriska funktioner: en vanlig teknik är att först göra en substitution med en trigonometrisk funktion och sedan förenkla resultatet med hjälp av en trigonometrisk identitet.

Grundläggande[redigera | redigera wikitext]

Funktioner[redigera | redigera wikitext]

\cos(x) = \sin\left(x + \frac {\pi} {2}\right)
\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}
\cot(x)= \frac{\cos(x)}{\sin(x)} = \frac{1}{\tan(x)}
\sec(x) = \frac{1}{\cos(x)}
\csc(x) = \frac{1}{\sin(x)}

Perioder[redigera | redigera wikitext]

Sinus, cosinus, sekant och cosekant har perioden 2π. Tangens och cotangens har perioden π. Om k är ett heltal gäller:

\begin{align}
\sin(x) &= \sin(x + 2k\pi) \\
\cos(x) &= \cos(x + 2k\pi) \\
\tan(x) &= \tan(x + k\pi) \\
\cot(x) &= \cot(x + k\pi) \\
\sec(x) &= \sec(x + 2k\pi) \\
\csc(x) &= \csc(x + 2k\pi) \\
\end{align}

Symmetri[redigera | redigera wikitext]

\begin{align}
\sin(-x) &= -\sin(x) & \sin\left(\cfrac{\pi}{2} - x\right) &= \cos(x) & \sin\left(\pi - x\right) &= +\sin(x)   \\
\cos(-x) &= +\cos(x) & \cos\left(\cfrac{\pi}{2} - x\right) &= \sin(x) & \cos\left(\pi - x\right) &= -\cos(x)   \\
\tan(-x) &= -\tan(x) & \tan\left(\cfrac{\pi}{2} - x\right) &= \cot(x) & \tan\left(\pi - x\right) &= -\tan(x)   \\
\end{align}

En funktion f(x) kallas udda om f(-x) = -f(x) och kallas jämn om f(-x) = f(x). Till exempel är cosinusfunktionen jämn och sinus- och tangensfunktionerna är udda.

Förskjutningar[redigera | redigera wikitext]

\begin{align}
\sin\left(x + \cfrac{\pi}{2}\right) &= +\cos(x) & \sin\left(x + \pi\right) &= -\sin(x)   \\
\cos\left(x + \cfrac{\pi}{2}\right) &= -\sin(x) & \cos\left(x + \pi\right) &= -\cos(x)   \\
\tan\left(x + \cfrac{\pi}{2}\right) &= -\cot(x) & \tan\left(x + \pi\right) &= +\tan(x)   \\
\end{align}

Samband för en vinkel[redigera | redigera wikitext]

Trigonometriska ettan[redigera | redigera wikitext]

\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1
\sin(x) = \pm \sqrt{1 - \cos^2(x)}
\cos(x) = \pm \sqrt{1 - \sin^2(x)}

Relaterade identiteter[redigera | redigera wikitext]

1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta
1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta

Dubbla vinkeln[redigera | redigera wikitext]

\begin{align}
\sin(2x) &= 2 \sin (x) \cos(x) \\
\cos(2x) &= \cos^2(x) - \sin^2(x) = \\
 &= 2 \cos^2(x) - 1 = \\
 &= 1 - 2 \sin^2(x) \\
\tan(2x) &= \frac{2 \tan(x)} {1 - \tan^2(x)} \\
\cot(2x) &= \frac{\cot(x) - \tan(x)} {2} \\
\end{align}

Tredubbla vinkeln[redigera | redigera wikitext]

\begin{align}
\sin(3x) &= 3 \sin(x)- 4 \sin^3(x) \\
\cos(3x) &= 4 \cos^3(x) - 3 \cos(x) \\
\tan(3x) &= \frac{3 \tan(x) - \tan^3(x)}{1 - 3 \tan^2(x)} \\
\cot(3x) &= \frac{\cot^3(x) - 3 \cot(x)}{3 \cot^2(x) - 1} \\
\end{align}

Halva vinkeln[redigera | redigera wikitext]

\begin{align}
\sin^2\left(\frac{x}{2}\right) &= \frac{1 - \cos(x)}{2} \\
\cos^2\left(\frac{x}{2}\right) &= \frac{1 + \cos(x)}{2} \\
\tan\left(\frac{x}{2}\right) &= \frac{\sin(x)}{1 + \cos(x)} &= \\
&= \frac{1 - \cos(x)}{\sin(x)} \\
\tan^2\left(\frac{x}{2}\right) &= \frac{1 - \cos(x)}{1 + \cos(x)} \\
\cot\left(\frac{x}{2}\right) &= \frac{\sin(x)}{1 - \cos(x)} &= \\
&= \frac{1 + \cos(x)}{\sin(x)} \\
\cot^2\left(\frac{x}{2}\right) &= \frac{1 + \cos(x)}{1 - \cos(x)} \\
\end{align}

Potenser[redigera | redigera wikitext]

\sin^2\theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}
\cos^2\theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}
\sin^2\theta \cos^2\theta = \frac{1 - \cos 4\theta}{8}
\sin^3\theta = \frac{3 \sin\theta - \sin 3\theta}{4}
\cos^3\theta = \frac{3 \cos\theta + \cos 3\theta}{4}
\sin^3\theta \cos^3\theta = \frac{3\sin 2\theta - \sin 6\theta}{32}
\sin^4\theta = \frac{3 - 4 \cos 2\theta + \cos 4\theta}{8}
\cos^4\theta = \frac{3 + 4 \cos 2\theta + \cos 4\theta}{8}
\sin^4\theta \cos^4\theta = \frac{3-4\cos 4\theta + \cos 8\theta}{128}
\sin^5\theta = \frac{10 \sin\theta - 5 \sin 3\theta + \sin 5\theta}{16}
\cos^5\theta = \frac{10 \cos\theta + 5 \cos 3\theta + \cos 5\theta}{16}
\sin^5\theta \cos^5\theta = \frac{10\sin 2\theta - 5\sin 6\theta + \sin 10\theta}{512}

Samband för två vinklar[redigera | redigera wikitext]

\begin{align}
\sin(x \pm y) &= \sin(x) \cos(y) \pm \cos(x) \sin(y) \\
\cos(x \pm y) &= \cos(x) \cos(y) \mp \sin(x) \sin(y) \\
\tan(x \pm y) &= \frac{\tan(x) \pm \tan(y)}{1 \mp \tan(x)\tan(y)} \\
\cot(x \pm y) &= \frac{\cot(x) \cot(y) \mp 1}{\cot(y) \pm \cot(x)} \\
\end{align}

Observera att \pm och \mp är olika tecken. Till exempel är cos(x + y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y) medan cos(x - y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y).

\begin{align}
\frac{\sin(x) - \sin(y)}{\sin(x) + \sin(y)} &= \frac{\tan\frac{x - y}{2}}{\tan\frac{x + y}{2}} \\
\frac{\cos(x) - \cos(y)}{\cos(x) + \cos(y)} &= -\tan\left( \frac{x + y}{2} \right) \tan\left( \frac{x - y}{2} \right) \\
\frac{\tan(x) - \tan(y)}{\tan(x) + \tan(y)} &= \frac{\sin(x - y)}{\sin(x + y)} \\
\frac{\cot(x) - \cot(y)}{\cot(x) + \cot(y)} &= -\frac{\sin(x - y)}{\sin(x + y)} \\
\end{align}

Summor[redigera | redigera wikitext]

\begin{align}
\sin(x) + \sin(y) &= 2 \sin\left( \frac{x + y}{2} \right) \cos\left( \frac{x - y}{2} \right) \\
\cos(x) + \cos(y) &= 2 \cos\left( \frac{x + y}{2} \right) \cos\left( \frac{x - y}{2} \right) \\
\tan(x) + \tan(y) &= \frac{\sin(x + y)}{\cos(x) \cos(y)} \\
\cot(x) + \cot(y) &= \frac{\sin(x + y)}{\sin(x) \sin(y)} \\
\end{align}

Differenser[redigera | redigera wikitext]

\begin{align}
\sin(x) - \sin(y) &= 2 \cos\left( \frac{x + y}{2} \right) \sin\left( \frac{x - y}{2} \right) \\
\cos(x) - \cos(y) &= -2 \sin\left( \frac{x + y}{2} \right) \sin\left( \frac{x - y}{2} \right) \\
\tan(x) - \tan(y) &= \frac{\sin(x - y)}{\cos(x) \cos(y)} \\
\cot(x) - \cot(y) &= -\frac{\sin(x - y)}{\sin(x) \sin(y)} \\
\end{align}

Produkter[redigera | redigera wikitext]

\begin{align}
\sin\left (x\right ) \sin\left (y\right ) &= {\cos\left (x - y\right ) - \cos\left (x + y\right ) \over 2} \\
\sin\left (x\right ) \cos\left (y\right ) &= {\sin\left (x - y\right ) + \sin\left (x + y\right ) \over 2} \\
\cos\left (x\right ) \cos\left (y\right ) &= {\cos\left (x - y\right ) + \cos\left (x + y\right ) \over 2} \\
\end{align}

Inversa funktioner[redigera | redigera wikitext]

Samband för en vinkel[redigera | redigera wikitext]

\begin{align}
\sin(\arcsin(x)) &= x &\quad \cos(\arccos(x)) &= x \\
\tan(\arctan(x)) &= x &\quad \cot(\arccot(x)) &= x \\
\sec(\arcsec(x)) &= x &\quad \csc(\arccsc(x)) &= x \\
\end{align}
\begin{align}
\arcsin(\sin(x)) &= x,\mbox{ för }-\pi/2 \leq x \leq \pi/2 \\
\arccos(\cos(x)) &= x,\mbox{ för }0 \leq x \leq \pi \\
\arctan(\tan(x)) &= x,\mbox{ för }-\pi/2 < x < \pi/2 \\
\arccot(\cot(x)) &= x,\mbox{ för }0 < x < \pi \\
\arcsec(\sec(x)) &= x,\mbox{ för }0 \leq x < \pi/2 \mbox{ eller }\pi/2 < x \leq \pi \\
\arccsc(\csc(x)) &= x,\mbox{ för }-\pi/2 \leq x < 0 \mbox{ eller }0 < x \leq \pi/2 \\
\end{align}

Kompletterande[redigera | redigera wikitext]

\begin{align}
\arccos(x) &= \frac{\pi}{2} - \arcsin(x) \\
\arccot(x) &= \frac{\pi}{2} - \arctan(x) \\
\arccsc(x) &= \frac{\pi}{2} - \arcsec(x) \\
\end{align}

Likheter för negativa argument[redigera | redigera wikitext]

\begin{align}
\arcsin(-x) &= - \arcsin(x) \\
\arccos(-x) &= \pi - \arccos(x) \\
\arctan(-x) &= - \arctan(x) \\
\arccot(-x) &= \pi - \arccot(x) \\
\arcsec(-x) &= \pi - \arcsec(x) \\
\arccsc(-x) &= - \arccsc(x) \\
\end{align}

Reciproka funktioner[redigera | redigera wikitext]

\begin{align}
\arccos \frac{1}{x} &= \arcsec(x) \\
\arcsin \frac{1}{x} &= \arccsc(x) \\
\arctan \frac{1}{x} &= \frac{\pi}{2} - \arctan(x) = \arccot(x),\text{ om }x > 0 \\
\arctan \frac{1}{x} &= -\frac{\pi}{2} - \arctan(x) = -\pi + \arccot(x),\text{ om }x < 0 \\
\arccot \frac{1}{x} &= \frac{\pi}{2} - \arccot(x) = \arctan(x),\text{ om }x > 0 \\
\arccot \frac{1}{x} &= \frac{3\pi}{2} - \arccot(x) = \pi + \arctan(x),\text{ om }x < 0 \\
\arcsec \frac{1}{x} &= \arccos(x) \\
\arccsc \frac{1}{x} &= \arcsin(x) \\
\end{align}

Samband för två vinklar[redigera | redigera wikitext]

\begin{align}
\arcsin\alpha \pm \arcsin\beta &= \arcsin\left(\alpha\sqrt{1-\beta^2} \pm \beta\sqrt{1-\alpha^2}\right) \\
\arccos\alpha \pm \arccos\beta &= \arccos\left(\alpha\beta \mp \sqrt{(1-\alpha^2)(1-\beta^2)}\right) \\
\arctan\alpha \pm \arctan\beta &= \arctan\left(\frac{\alpha \pm \beta}{1 \mp \alpha\beta}\right)
\end{align}

Se även[redigera | redigera wikitext]