Martingal (sannolikhetsteori)

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Inom sannolikhetsteori är en martingal en stokastisk process som har den speciella egenskapen att det betingade väntevärdet av en observation av processen vid tiden t givet observationer fram till tiden s, med s < t, är lika med det observerade värdet vid tidpunkten s.

Historia[redigera | redigera wikitext]

Ursprungligen refererade begreppet martingal till ett spelsystem, det så kallade Martingalsystemet, som utvecklades i Frankrike1700-talet. Det går ut på att efter varje förlorat vad, dubblar man insatsen tills man vinner. Då går man alltid med vinst. En förutsättning till att detta ska fungera är att man har tillräckligt mycket pengar för att man ska kunna dubbla insatsen tills man vinner. Inom sannolikhetsteorin infördes begreppet av Paul Pierre Lévy.

Definition[redigera | redigera wikitext]

En stokastisk process i diskret tid är en martingal om följande gäller för alla n:

 \mathbf{E} ( \vert X_n \vert )< \infty
 \mathbf{E} (X_{n+1}\mid X_1,\ldots,X_n)=X_n.

I kontinuerlig tid definieras en martingal ofta med hjälp av en filtration av sigma-algebror. Givet ett mätbart rum (\Omega, \mathcal{F}) så är en filtration en indexerad familj av sigma-algebror  \{ \mathcal{F}_{t} \}_{t \geq 0} med  \mathcal{F}_{t} \subseteq \mathcal{F} för alla  t \geq 0 som uppfyller

     t_{1} \leq t_{2} \implies \mathcal{F}_{t_{1}} \subseteq \mathcal{F}_{t_{2}}.

I många sammanhang kan en filtration ges en tolkning i termer av information, där  \mathcal{F}_{t} kan representera informationen tillgänglig vid tidpunkten t. Man säger också att en stokastisk process är anpassad till en filtration om  X_t är en mätbar funktion med avseende på  \mathcal{F}_{t} för alla t. Vi kan nu definiera en martingal med avseende på en viss filtration   \mathcal{F}^* som en stokastisk process X (\Omega, \mathcal{F}, P) som uppfyller:

1. X är anpassad till   \mathcal{F}^*
2.  \mathbf{E} ( | X_{t} | ) < + \infty;
3. För varje s,t med  0 \leq s \leq t gäller  X_s = \mathbf{E}(X_t | \mathcal{F}_s) , där den sista likheten gäller P-nästan säkert.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Ett enkelt exempel på en martingal i diskret tid är den stokastiska process som bildas av delsummorna av en följd av oberoende, integrerbara, stokastiska variabler med väntevärde 0. Med andra ord, om  \{Z_i\}_{i \in \mathbb{N}} är en sådan följd, så är  X_n = \sum_{i=1}^n Z_i en martingal. Ett typiskt exempel på en martingal i kontinuerlig tid är Wienerprocessen.

Referenser[redigera | redigera wikitext]

  • Björk, T. Arbitrage Theory in Continuous Time, Oxford University Press, 2004.
  • Kallenberg, O. Foundations of Modern Probability, 2nd ed. Springer Series in Statistics, 2002.
Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.