Stokastisk process

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Brownsk rörelse är en stokastisk process

En stokastisk process är den matematiska beskrivningen av en tidsordnad slumpprocess. Teorin för stokastiska processer har inneburit en betydande utvidgning av sannolikhetsteorin och är grunden för den stokastiska analysen.

Processer som kan beskrivas av en stokastisk process är exempelvis antalet bilar som passerar en viss punkt på motorvägen, antalet kunder i en affär vid en viss tidpunkt, och tillförlitligheten av ett system som består av komponenter.

Definition[redigera | redigera wikitext]

Givet

  • ett sannolikhetsrum ,
  • en fullständigt ordnad parameter- eller indexmängd som kallas för tid, och
  • ett mätbart tillståndsrum

så är en stokastisk process en funktion vilken är -mätbar för varje

Vanligtvis utelämnas beroendet av och man skriver för att beteckna den stokastiska processen. Vid användandet av den här beteckningen förstår man varför den stokastiska processen även definieras som en familj av stokastiska variabler.

Parametermängden kallas även indexmängd, eftersom det för varje finns en stokastisk variabel. Beroende på om parametermängden är diskret eller kontinuerlig kommer den stokastiska processen kallas för detsamma. Enligt konvention så är parametermängden alltid oändlig.

För ett visst utfall så är en funktion som antar värden i och den betraktas som realisering av den stokastiska processen.

Naturlig filtrering[redigera | redigera wikitext]

En filtrering över ett sannolikhetsrum är en ordnad familj σ-algebror där d.ä. är grövre än närhelst En stokastisk process naturliga filtrering är den familj σ-algebror som är tillbakadragna genom urbilderna under processen X av de där σ-algebror som är genererade av cylindermängderna; d.v.s. den naturliga filtrering är där

Den naturliga filtreringen blir finare och finare som tiden t ökas, därför att fler och fler händelser blir utskiljbara—eller mätbara—under denna filtrering precis som processen utvecklas med tid.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Exempel på stokastiska processer:

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Sannolikhetsfördelningen för en reellvärd stokastisk variabel är ett sannolikhetsmått på Borel sigma-algebran på mängden av de reella talen :

De ändligt-dimensionella fördelningarna för en reellvärd stokastisk process är mängden av alla tänkbara flerdimensionella sannolikhetsfördelningar associerade med den stokastiska processen:

där index och mängderna för varje val av heltalet

Associerade med en stokastisk process är dess väntevärdesfunktion

och dess kovariansfunktion

Dessa är definierade av följande integraler med avseende på sannolikhetsmåttet .

och

,

där väntevärdet beräknas på produktrummet

Om det råkar vara så att de ändligt-dimensionella fördelningarna för den stokastiska processen X är absolutkontinuerliga med avseende på Lebesgue-måttet, så kan ovanstående väntevärden skrivas som

och

där funktionen är Radon-Nikodym derivatan av sannolikhetsfördelningen för den stokastiska variabeln med avseende på Lebesgue-måttet på

Denna derivata kallas inom sannolikhetsteori och statistik för den stokastiska variabelns täthetsfunktion. På motsvarande sätt är funktionen Radon-Nikodym derivatan

av sannolikhetsfördelningen för den två-dimensionella stokastiska variabeln med avseende på Lebesgue-måttet i planet

Stokastiska processer är vanligt förekommande inom såväl teknik som ekonomisk och finansiell teori.

Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.

Referenser[redigera | redigera wikitext]