Mertensfunktionen

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Mertensfunktionen är inom talteorin en aritmetisk funktion definierad enligt:

där μ(n) är möbiusfunktionen.

Eftersom möbiusfunktionen bara antar värden -1, 0 och 1 kan M(n) aldrig vara större än n

Representationer[redigera | redigera wikitext]

Integralrepresentationer[redigera | redigera wikitext]

Genom att använda Eulerprodukten får man

där är Riemanns zetafunktion och produkten är över alla primtal. Sedan får man med Perrons formel

där C är en sluten kurva som går runt alla rötter av

Som ett korollarium får man Mellintransformationen

som gäller för

Som en summa över Fareyfraktioner[redigera | redigera wikitext]

En annan formel för Mertensfunktionen är

  där     är Fareyföljden av ordning n.

Denna formel används i beviset av Franel–Landaus sats.

Relation till andra funktioner[redigera | redigera wikitext]

Mertens gav en relation mellan Mertensfunktionen och Tjebysjovs andra funktion:

Se även[redigera | redigera wikitext]