Modulär form

Inom matematiken är en modulär form en (komplex) analytisk funktion i övre planhalvan som satisfierar en viss funktionalekvation med respekt till gruppverkan av modulära gruppen, samt satisfierar ett visst krav om tillväxten. Teorin av modulära former är en del av komplex analys, men de är väldigt viktiga inom talteori och förekommer även inom algebraisk topologi och strängteori.

Modulära former för SL₂(Z)

En modulär form av vikt k för modulära gruppen

$SL(2,\mathbf {Z} )=\left\{\left({\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}}\right),a,b,c,d\in \mathbf {Z} ,ad-bc=1\right\}$

är en komplexvärd funktion f i övre planhalvan H = {z ∈ C, Im(z) > 0}, som satisfierar följande tre krav: för det första är f en analytisk funktion över H. För det andra gäller för alla z i H och en godtycklig matris i SL(2,Z) ekvationen

$f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=(cz+d)^{k}f(z).$

För det tredje bör f vara analytisk då z → i∞. Vikten k är vanligen ett positivt heltal.

Det andra kravet, med matriserna $S=\left({\begin{array}{cc}0&-1\\1&0\end{array}}\right)$ och $T=\left({\begin{array}{cc}1&1\\0&1\end{array}}\right)$, är

$f(-1/z)=z^{k}f(z)\,$

och

$f(z+1)=f(z)\,$.

Eftersom S och T genererar modulära gruppen SL(2,Z) är set andra kravet ovan ekvivalent till dessa två ekvationer. Notera att eftersom

$f(z+1)=f(z)$

är modulära funktioner periodiska funktioner med period 1 och har härmed en Fourierserie.

Notera att för udda k kan bara 0 satisfiera det andra kravet.

Exempel

Dedekinds etafunktion definieras som

$\eta (z)=q^{1/24}\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n}),\ q=e^{2\pi iz}.$

Då är den modulära diskriminanten Δ(z) = η(z)²⁴ en modulär form av vikt 12.

Automorfiska faktorer och andra generaliseringar

Modulära former kan generaliserar genom att tillåta existensen av en funktion $\varepsilon (a,b,c,d)$ med $\left|\varepsilon (a,b,c,d)\right|=1$ så att

$f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=\varepsilon (a,b,c,d)(cz+d)^{k}f(z).$

Funktioner av formen $\varepsilon (a,b,c,d)(cz+d)^{k}$ är kända som automorfiska faktorer.

En annan generalisering är Hilbert-modulära former.

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Modular form, 29 december 2013.

• Jean-Pierre Serre, A Course in Arithmetic. Graduate Texts in Mathematics 7, Springer-Verlag, New York, 1973. Chapter VII provides an elementary introduction to the theory of modular forms.
• Tom M. Apostol, Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory (1990), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-97127-0
• Goro Shimura, Introduction to the arithmetic theory of automorphic functions. Princeton University Press, Princeton, N.J., 1971. Provides a more advanced treatment.
• Stephen Gelbart, Automorphic forms on adele groups. Annals of Mathematics Studies 83, Princeton University Press, Princeton, N.J., 1975. Provides an introduction to modular forms from the point of view of representation theory.
• Robert A. Rankin, Modular forms and functions, (1977) Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0-521-21212-X
• Stein's notes on Ribet's course Modular Forms and Hecke Operators
• Erich Hecke, Mathematische Werke, Goettingen, Vandenhoeck & Ruprecht, 1970.
• N.P. Skoruppa, D. Zagier, Jacobi forms and a certain space of modular forms, Inventiones Mathematicae, 1988, Springer