Vektoranalys

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Vektorfältet (sin y, sin x)

Vektoranalys är ett område inom matematiken som handlar om reell analys i flera variabler av vektorer i 2 eller fler dimensioner. De flesta tillämpningar grundar sig på 3-dimensionell vektoranalys.

Vektoranalysen består av ett antal formler och problemlösningstekniker som är mycket användbara för ingenjörer och fysiker.

I ett vektorfält är varje punkt i rummet tilldelat en vektor. I ett skalärfält är varje punkt i rummet tilldelat en skalär. Till exempel är temperaturen i en pool ett skalärfält; för varje punkt i poolen finns en temperatur vilken anges med ett reellt tal. Hur vattnet strömmar i poolen är däremot ett vektorfält; i varje punkt kan vi mäta vattnets hastighet och riktning, vilket kan representeras med en hastighetsvektor.

Tre viktiga operatorer inom vektoranalysen:

  • gradient: mäter hastighet och riktning av förändringar i ett skalärfält; gradienten av ett skalärfält är ett vektorfält.
  • rotation: mäter ett vektorfälts tendens att rotera runt en punkt; rotationen av ett vektorfält är ett annat vektorfält.
  • divergens: mäter ett vektorfälts tendens till att utgå ifrån eller närma sig en given punkt; divergensen av ett vektorfält är ett skalärt fält.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

  1. Gradienten av temperaturfältet ovan ger en vektor i varje punkt, som hela tiden pekar mot varmare vatten (högre temperatur). Om skalärfältet betecknas med T, så skrivs gradienten av T som grad T eller ∇ T
  2. Rotationen av vattnets hastighetsvektor ovan anger, löst talat, om det finns virvlar i vattnet. Ett vektorfält v har rotationen rot v, eller ∇ × v
  3. Divergensen av vattnets hastighetsvektor anger, löst talat, huruvida det i en punkt tillkommer mer vatten (divergensen positiv) eller strömmar ut vatten (divergensen negativ). Om v åter är hastighetsvektorn, så är divergensen ∇ · v

Flertalet analytiska resultat förstås lättare om man använder sig av tekniker från differentialgeometrin, vilken innehåller hela vektoranalysen plus lite extra: exempelvis hur man generaliserar vektoranalysen till högre dimensioner. Att det inte går att göra likadant i högre dimensioner som man gör i tre dimensioner, beror bland annat på att det inte går att på ett naturligt sätt generalisera rotationsoperatorn.

Definitioner[redigera | redigera wikitext]

Följande definitioner gäller i ett kartesiskt koordinatsystem (e₀, …, en), där basvektorerna är konstanta.

  1. Låt f vara ett skalärfält definierat i en delmängd av ℝn. Gradienten av f definieras då som
    \nabla f(x_1, \ldots, x_n) =( \frac{\partial f}{\partial x_1}, \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_n})
  2. Låt v = (v1, …, vn) vara en vektor, och varje vi = vi(x1, …, xn) är en funktion definierad i en given delmängd av ℝn. Divergensen av v definieras då som:
    \nabla \cdot \bar{v} = \sum_{k=1} ^n \frac{\partial v_k}{\partial x_k}
  3. Låt v = (v1, v2, v3) ∈ ℝ3, och varje vi(x1, x2, x3) vara en funktion definierad i en given delmängd av ℝ3. Rotationen av v definieras då som:
    \nabla \times \bar{v}=(\frac{\partial v_3}{\partial x_2}-\frac{\partial v_2}{\partial x_3},\frac{\partial v_1}{\partial x_3}-\frac{\partial v_3}{\partial x_1},\frac{\partial v_2}{\partial x_1}-\frac{\partial v_1}{\partial x_2}).

Tillämpningar[redigera | redigera wikitext]

Vektoranalys är nödvändig för att uttrycka vissa partiella differentialekvationer i fysiken, som Maxwells ekvationer i elektrodynamik, och Navier-Stokes ekvationer i strömningsmekanik.

Se även[redigera | redigera wikitext]

Office-book.svg
Den här artikeln ingår i boken: 
Matematik