Korda

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Korda avser inom matematiken en sträcka mellan två punkter på en cirkel. Det är antingen själva den geometriska mängden eller längden av denna. Historiskt användes också korda som en trigonometrisk funktion, nämligen längden av den korda som i en cirkel med fix radie motsvarar en medelpunktsvinkel. Uttryckt i moderna termer är denna korda av vinkeln v detsamma som 2r sin (v/2), där r är cirkelns radie.

Kordasatsen[redigera | redigera wikitext]

Med hjälp av bland annat teorin för likformiga trianglar kunde man i den hellenistiska antika matematiken bevisa olika samband som involverar kordor. Bland dessa finns kordasatsen, enligt vilken två kordor i samma cirkel skär varandra, så är produkten av längderna av de två segmenten i den ena kordan lika stor som motsvarande produkt i den andra.

Kordan som trigonometrisk funktion[redigera | redigera wikitext]

Definition av funktionen crd

Kordafunktionen kan spåras redan på kilskriftstavlor från Mesopotamien. Under 100-talet gjorde astronomen och matematikern Klaudios Ptolemaios från Alexandria upp en noggrann kordatabell, som ingick i hans huvudverk Almagest. Ptolemaios anger kordorna för alla halva och hela vinklar upp till ett halvt varv i en cirkel med radien 60 längdenheter. Sambandet med de moderna trigonometriska funktionerna är:

 \mbox{crd}\ \theta = \sqrt{(1-\cos \theta)^2+\sin^2 \theta} = \sqrt{2-2\cos \theta} = 2 \sqrt{\frac{1-\cos \theta}{2}} = 2 \sin \frac{\theta}{2}.

Ett specialfall är en rätvinklig triangel\theta=\frac{\pi}{2}\Rightarrow\mbox{crd}\ \theta=\sqrt{2}.

Identiteter[redigera | redigera wikitext]

Kordafunktionen har många identiteter som är analoga med sinusfunktionen:

Identitet Uttryckt med sinus Uttryckt med korda
Trigonometriska ettan \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \mbox{crd}^2 \theta + \mbox{crd}^2 (180^{\circ} - \theta) = 4
Halva vinkeln \sin\frac{\theta}{2} = \pm\sqrt{\frac{1-\cos \theta}{2}} \mbox{crd}\ \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{2-\mbox{crd}(180^{\circ} - \theta)}

Se även[redigera | redigera wikitext]

Wiktionary small.svg
Svenskspråkiga Wiktionary har ett uppslag om korda.