Teorem

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Matematiska begrepp
Härledningsbegrepp
Närliggande begrepp

Ett teorem (av gr. theor'eo, betrakta, skåda) är ett vetenskapligt påstående eller en sats som har bevisats, till exempel inom matematik och logik. Inom matematiken syftar begreppet teorem vanligtvis på en viktigare slutsats eller ett huvudresultat inom en viss teori.[1] Om teorin är axiomatiskt uppbyggd följer teoremet logiskt från teorins axiom. I ett formaliserat system kallas varje slutsats, som kan härledas från axiomen och med hjälp av systemets slutledningsregler, för ett teorem.[2][3]

Teorem i formella system[redigera | redigera wikitext]

En formel A, är ett teorem i ett formellt system om det finns ett bevis i systemet vars sista formel är A. Ett bevis för formeln finns, om den kan härledas enbart från systemets axiom med hjälp av systemets slutledningsregler. Med på formeln A här ställda villkor kallas den, av tradition, även för en sats i betydelsen härledd sats, vilket är ett mer generellt och svagare begrepp än teorem. I allmänhet gäller att ett teorem är en härledd sats, men omvändningen gäller inte. En härledd sats är alltså inte nödvändigtvis är ett teorem.

I den formella teorin för exempelvis geometrin eller aritmetiken, finns ett antal axiom. Per definition betraktas axiomen i ett system som teorem, men det omvända gäller inte. Mängden av alla teorem bildar en teori. Ibland kallar man istället mängden av axiom för teorin.

Ett system där varje teorem är sant i en given tolkning kallas sunt med avseende på tolkningen. Ett system där varje teorem är sant i varje möjlig tolkning kallas ett sunt system. Om varje formel som tolkas som ett sant påstående i varje tolkning är ett teorem, kallas systemet fullständigt. Om en formel och dess negation samtidigt är teorem kallas systemet inkonsistent i annat fall kallas det konsistent.

Se även[redigera | redigera wikitext]

Referenser[redigera | redigera wikitext]

Noter[redigera | redigera wikitext]

  1. ^ NE, s. 173
  2. ^ Konrad Marc-Wogau, Modern Logik, Bonniers 1950
  3. ^ Lübcke 1988, s. 543

Källor[redigera | redigera wikitext]

  • Konrad Marc-Wogau, Modern Logik, Bonniers 1950.
  • Geoffrey Hunter, Metalogic, An Introduction to the Metatheory of Standard First Order Logic, MacMillan, London 1971.
  • Nationalencyklopedin. Höganäs: Bra Böcker. 1995 
  • Lübcke, Poul, red (1988). Filosofilexikonet. Stockholm. ISBN 91-37-10062-9