Analytisk funktion

Analytiska funktioner (även komplexanalytiska funktioner eller holomorfa funktioner) studeras i den del av matematiken som kallas komplex analys.

En komplexvärd funktion $f$ av en komplex variabel $z$ är analytisk i punkten $z_{0}$ om dess komplexa derivata

$f'(z)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(z+h)-f(z)}{h}}$

existerar för alla $z$ i en omgivning av $z_{0}$, där $h$ är ett komplext tal. Detta kan tyckas vara en obetydlig förändring jämfört med definitionen på reellvärd derivata, men innebär en mycket annorlunda teori jämfört med reell analys. Den är analytisk i ett område Ω i det komplexa talplanet om den är analytisk i varje punkt $z$ i Ω. En funktion som är analytisk i hela det komplexa talplanet kallas hel funktion.

Exempel på hela funktioner är

• polynomfunktioner
• $\ f(z)=e^{z}$
• $\ f(z)=\sin(z)$

Exempel på kontinuerliga funktioner som inte är analytiska i någon punkt är

• $f(z)=\left|z\right|$ (absolutbeloppet av $z$).
• $f(z)={\bar {z}}$ (komplexkonjugatet av $z$).

Enligt en sats ur komplexa analysen har varje analytisk funktion också analytisk derivata. Det medför att om en funktion har en derivata har den oändligt många derivator och kan utvecklas i potensserie. Löst uttryckt innebär detta att analytiska funktioner med nödvändighet "uppför sig väl". Jämför med det reella fallet, där högre ordningars derivator inte behöver existera, även om en funktion är deriverbar.

Varje analytisk funktion uppfyller Cauchy-Riemanns ekvationer.

De enda hela begränsade funktionerna är enligt Liouvilles sats de konstanta funktionerna. Detta leder till ett koncist bevis för den viktiga algebrans fundamentalsats.

Analytiska funktioner uppfyller Cauchys integralsats. Genom att betrakta "nästan" analytiska funktioner kan man visa Cauchys integralformel som är ett kraftfullt verktyg för beräkning av vissa integraler (exempelvis Fouriertransformen) vilket är svårt med andra metoder. Teorin har även kopplingar till icke-euklidisk geometri, särskilt via Möbiusavbildningar och konforma avbildningar.

En teoretiskt mycket viktig egenskap, och ett av de elegantaste resultaten i hela teorin för analytiska funktioner av en komplex variabel, ges av Riemanns avbildningssats som innebär att varje öppen enkelt sammanhängande mängd, skild från hela komplexa talplanet ℂ kan avbildas konformt till det inre av enhetscirkeln. Det betyder till exempel att man i princip alltid kan lösa Laplaces ekvation i ℂ och ℝ².

I modern forskning studerar man även komplex analys i flera variabler där teorin skiljer sig åt betydligt jämfört med komplex analys i en variabel.

Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.