Apérys konstant

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Apérys konstant är en matematisk konstant som definieras som

\zeta(3)=\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^3}=1+\frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} + \frac{1}{4^3} + \frac{1}{5^3} + \frac{1}{6^3} + \frac{1}{7^3} + \frac{1}{8^3} + \frac{1}{9^3} + \cdots\,\!

där ζ är Riemanns zeta-funktion. Dess approximativa värde är

ζ(3) = 1.20205 69031 59594 28539 97381 61511 44999 07649 86292...

Serierepresentationer[redigera | redigera wikitext]

Flera kända matematiker, såsom Euler och Ramanujan, har hittat ett flertal serier för Apérys konstant. Följande är en av Eulers formler:

\zeta(3)=\frac{\pi^2}{7}
\left[ 1-4\sum_{k=1}^\infty \frac {\zeta (2k)} {(2k+1)(2k+2) 2^{2k}} \right]
\zeta(3)=\frac{7}{180}\pi^3 -2 
\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^3 (e^{2\pi k} -1)}


\zeta(3)= 14 
\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^3 \sinh(\pi k)}
-\frac{11}{2}
\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^3 (e^{2\pi k} -1)}
-\frac{7}{2} 
\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^3 (e^{2\pi k} +1)}.


\zeta(3) = \frac{8}{7} \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(2k+1)^3}
\zeta(3) = \frac{4}{3} \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(k+1)^3}
\zeta(3) = \tfrac{1}{2} \sum_{k=1}^\infty \frac{H_k}{k^2}\;
\zeta(3) = \tfrac{1}{2} \sum_{j=1}^\infty \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{jk(j+k)}\;
\zeta(3) = \frac{5}{2} \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1} \frac{k!^2}{k^3 (2k)!}
\zeta(3) = \frac{1}{4} \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1}
\frac{56k^2-32k+5}{(2k-1)^2} \frac{(k-1)!^3}{(3k)!}
\zeta(3)=\frac{8}{7}-\frac{8}{7}\sum_{k=1}^\infty \frac{{\left( -1 \right) }^k\,2^{-5 + 12\,k}\,k\,
    \left( -3 + 9\,k + 148\,k^2 - 432\,k^3 - 2688\,k^4 + 7168\,k^5 \right) \,
    {k!}^3\,{\left( -1 + 2\,k \right) !}^6}{{\left( -1 + 2\,k \right) }^3\,
    \left( 3\,k \right) !\,{\left( 1 + 4\,k \right) !}^3}
\zeta(3) = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{205k^2 + 250k + 77}{64} \frac{k!^{10}}{(2k+1)!^5}


\zeta(3) = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{P(k)}{24}
\frac{((2k+1)!(2k)!k!)^3}{(3k+2)!(4k+3)!^3}

där

P(k) = 126392k^5 + 412708k^4 + 531578k^3 + 336367k^2 + 104000k + 12463.\,

En snabbt konvergerande serie av Tewodros Amdeberhan och Doron Zeilberger (1997):

 \zeta(3) = \frac1{24} \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{A(n)\cdot (2n+1)!^3 \cdot (2n)!^3 \cdot n!^3}{(3n+2)! \cdot (4n+3)!^3}

där A(n) = 126392 n^5 + 412708 n^4 + 531578 n^3 + 336367 n^2 + 104000 n + 12463.

En serie av Ramanujan:

\zeta(3) =  \frac{7\pi^3}{180} - 2\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3 (e^{2\pi n}-1)}.

Simon Plouffe har utvecklat liknande serier:

\zeta(3) = \frac{\pi^3}{28} + \frac{16}{7} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3(e^{\pi n}+1)} - \frac{2}{7} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3(e^{2\pi n}+1)}
\zeta(3) = 28 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3(e^{\pi n}-1)} - 37 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3(e^{2\pi n}-1)} + 7 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3(e^{4\pi n}-1)}.

Integralrepresentationer[redigera | redigera wikitext]

Några integralrepresentationen är

\zeta(3)=\frac{2\pi^2}{7}\log 2+\frac{16}{7}\int_0^\frac{\pi}{2}x\log(\sin x)dx
 \zeta(3) = \int \limits_0^1 \int \limits_0^1 \int \limits_0^1 \frac{\mathrm{d}x \mathrm{d}y \mathrm{d}z}{1 - xyz}
 \zeta(3) = \frac{1}{2} \int \limits_0^\infty \frac{x^2}{\mathrm{e}^x - 1} \mathrm{d}x
 \zeta(3) = \frac{2}{3}\pi ^3\int_0^1 x(x-\frac{1}{2})(x-1)\cot (\pi x)\mathrm{d}x.

Andra formler[redigera | redigera wikitext]

Apérys konstant kan uttryckas med hjälp av tetragammafunktionen:

\zeta(3) = -\frac{1}{2} \, \psi^{(2)}(1).

Den är också ett specialfall av trilogaritmen:

 \zeta(3) = \mathrm{Li}_3(1) \frac{}{}.

En intressant oändlig produkt över primtalen är

 \zeta(3) = \prod_{p \ \mathrm{primtal}} \frac{1}{1 - p^{-3}}.

Referenser[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Apéry's constant, 1 november 2013.
Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från ryskspråkiga Wikipedia, Постоянная Апери, 5 november 2013.
Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från japanskspråkiga Wikipedia, アペリーの定数, 5 november 2013.
Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från tyskspråkiga Wikipedia, Apéry-Konstante, 25 november 2013.