Irrationellt tal

Inom matematiken är ett irrationellt tal ett reellt tal som inte är ett rationellt tal, det vill säga att det kan inte skrivas som a/b, där a och b är heltal.

Det kan visas att de irrationella talen är de tal som på decimalform har en oändlig följd av decimaler som inte består av ett oändligt antal periodiska upprepningar. Ett irrationellt tal är antingen ett algebraiskt tal eller ett transcendent tal.

De irrationella talens kardinalitet är kontinuums mäktighet. Informellt uttryckt betyder det att nästan alla reella tal är irrationella.

Exempel på irrationella tal

Enkla exempel på irrationella tal är kvadratroten ur två, π och basen för den naturliga logaritmen, e. Nedan följer ett antal bevis för irrationaliteten för ett antal klasser av tal.

Kvadratrötter

Ett naturligt tal är kvadratfritt om det inte finns någon primtalskvadrat som delar det. Kvadratroten av tal som är kvadratfritt är irrationellt, speciellt ger detta att kvadratrötterna av alla primtal är irrationella.

Detta kan visas med ett motsägelsebevis. Antag att d är ett kvadratfritt tal. Då finns ett tal n så att

$n^2 < d < (n+1)^2\,$

som ger

$0 < \sqrt d - n < 1.$

Antag nu att $\sqrt d = \tfrac{p}{q}$, dvs att kvadratroten är rationell, och att q är det minsta talet då kvadratroten kan skrivas på detta sätt, det minsta positiva heltalet så att $p = q \sqrt d$ är ett heltal. Man får då att

$(\sqrt d - n)q \sqrt d = qd - nq\sqrt d$

också är ett heltal. Men av olikheten ovan får man att

$\sqrt d - n < 1$

så att $(\sqrt d - n) q$ är alltså ett mindre heltal som multiplicerat med $\sqrt d$ blir ett heltal. Detta motsäger definitionen av q och alltså är $\sqrt d$ irrationellt.

Logaritmer

Man kan visa att vissa logaritmer är irrationella med motsägelsebevis.

Antag exempelvis att $\log_{10} 2$ är rationellt, dvs:

$\log_{10} 2 = \frac{m}{n}$

för heltal m och n. Det följer att

$10^\frac{m}{n} = 2 \Rightarrow \left( 10^\frac{m}{n} \right)^n = 2^n \Rightarrow 10^m = 2^n.$

Med primtalsfaktoriseringar av 10 och 2 får man att

$5^m 2^m = 2^n \Rightarrow 5^m = 2^{n-m}.$

Dock följer av aritmetikens fundamentalsats att vänsterled och högerled aldrig kan vara lika, då m och n är heltal, eftersom både 5 och 2 är primtal och därmed inte delar några primtalsfaktorer. Alltså är 10-logaritmen av 2 irrationell.