Kvadratroten ur 2

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Hypotenusan av en rätvinklig triangel med kateterlängderna 1, har längden √2

Kvadratroten ur 2 eller roten ur 2, är det positiva tal vars kvadrat är lika med 2. I geometrin är det tal, som anger längden av diagonalen i en kvadrat med sidan 1 lika med kvadratroten ur 2.

Talet, kvadratroten ur 2, skrivet med de sextio första decimalerna:

1,41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679... (talföljd A002193 i OEIS)

Att talet inte är rationellt, visades redan av pythagoréerna på 400-talet före Kristus.

Vanligen visas att kvadratroten ur 2 inte är rationellt, det vill säga irrationellt, med ett så kallat reductio ad absurdum- eller motsägelsebevis.

Pythagoréernas klassiska motsägelsebevis från cirka 450 före Kristus[redigera | redigera wikitext]

Antag att √2 är ett rationellt tal, det vill säga att det finns heltal a och b sådana att

\frac{a}{b} = \sqrt 2 \qquad\text{(1)}

där kvoten

\frac{a}{b}

är förkortad så långt som möjligt, det vill säga att a och b inte har några gemensamma faktorer.

Kvadrering av (1) ger

\frac{a^2}{b^2} = 2

eller

\ a^2=2 b^2 \qquad\text{(2)}

Härav följer att a2 är ett jämnt tal och således även att a är jämnt, vilket enligt antagandet ovan, medför att b är udda.

Eftersom a är ett jämnt tal kan a skrivas som

\ a = 2k

där k är ett heltal. Om 2k sätts in för a i (2) erhålls

\ 4 k^2=2 b^2

eller

\ 2k^2 = b^2

Då är b2 jämnt och därmed är även b jämnt, vilket strider emot det nyss visade, att b är udda.

Antagandet har därmed lett fram till en kontradiktion och är därför falskt. Alltså är √2 irrationellt.

Q.E.D.

Motsägelsebevis från cirka 300 före Kristus, grundat på aritmetikens fundamentalsats[redigera | redigera wikitext]

Antag att roten ur 2 är ett rationellt tal. Talet kan då skrivas som en kvot av två heltal:

\sqrt{2}=\frac{p}{q}

Kvadrering av båda leden ger

2=\frac{p^2}{q^2}

Enligt aritmetikens fundamentalsats kan p uppdelas i n primtalsfaktorer enligt

p = p_1\cdot p_2\cdot p_3\cdot...\cdot p_n\,

och på samma sätt kan q uppdelas i m primfaktorer,

q = q_1\cdot q_2\cdot q_3\cdot...\cdot q_m\,

Då antalet primfaktorer i ett kvadratiskt tal är jämnt, följer att såväl p2 som q2 har ett jämnt antal primfaktorer. Enligt den andra ekvationen ovan har p2, förutom en faktor 2, samma primfaktorer som q2. Därmed måste p2 ha ett udda antal primfaktorer, vilket strider mot det nyss visade. Antagandet har därmed lett fram till en kontradiktion och därför är det, enligt reductio ad absurdum-regeln, falskt att roten ur 2 är rationellt.

Q.E.D.

Se även[redigera | redigera wikitext]

Källor[redigera | redigera wikitext]

  • Morris Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, New York, Oxford University Press 1972.