Kvadratroten ur 2

Hypotenusan av en rätvinklig triangel med kateterlängderna 1, har längden √2

Kvadratroten ur 2, eller roten ur 2, är det positiva tal vars kvadrat är lika med 2. I geometrin är kvadratroten ur två, det tal som anger längden av diagonalen i en kvadrat med sidan 1.

De sextio första decimalerna är:

1,41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679... (talföljd A002193 i OEIS)

Att talets värde inte kan skrivas som ett rationellt tal visades redan av pythagoréerna på 400-talet före Kristus.

Vanligen bevisas att kvadratroten ur 2 är irrationellt med ett så kallat reductio ad absurdum- eller motsägelsebevis.

Pythagoréernas klassiska motsägelsebevis från cirka 450 före Kristus

Antag att √2 är ett rationellt tal, det vill säga att det finns heltal a och b sådana att

$\frac{a}{b} = \sqrt 2 \qquad\text{(1)}$

där kvoten

$\frac{a}{b}$

är förkortad så långt som möjligt, det vill säga att a och b inte har några gemensamma faktorer.

Kvadrering av (1) ger

$\frac{a^2}{b^2} = 2$

eller

$\ a^2=2 b^2 \qquad\text{(2)}$

Härav följer att a² är ett jämnt tal och således även att a är jämnt, vilket enligt antagandet ovan, medför att b är udda.

Eftersom a är ett jämnt tal kan a skrivas som

$\ a = 2k$

där k är ett heltal. Om 2k sätts in för a i (2) erhålls

$\ 4 k^2=2 b^2$

eller

$\ 2k^2 = b^2$

Då är b² jämnt och därmed är även b jämnt, vilket strider emot det nyss visade, att b är udda.

Antagandet har därmed lett fram till en kontradiktion och är därför falskt. Alltså är √2 irrationellt.

Q.E.D.

Motsägelsebevis från cirka 300 före Kristus, grundat på aritmetikens fundamentalsats

Antag att roten ur 2 är ett rationellt tal. Talet kan då skrivas som en kvot av två heltal:

$\sqrt{2}=\frac{p}{q}$

Kvadrering av båda leden ger

$2=\frac{p^2}{q^2}$

Enligt aritmetikens fundamentalsats kan p uppdelas i n primtalsfaktorer enligt

$p = p_1\cdot p_2\cdot p_3\cdot...\cdot p_n\,$

och på samma sätt kan q uppdelas i m primfaktorer,

$q = q_1\cdot q_2\cdot q_3\cdot...\cdot q_m\,$

Då antalet primfaktorer i ett kvadratiskt tal är jämnt, följer att såväl p² som q² har ett jämnt antal primfaktorer. Enligt den andra ekvationen ovan har p², förutom en faktor 2, samma primfaktorer som q². Därmed måste p² ha ett udda antal primfaktorer, vilket strider mot det nyss visade. Antagandet har därmed lett fram till en kontradiktion och därför är det, enligt reductio ad absurdum-regeln, falskt att roten ur 2 är rationellt.

Q.E.D.

Se även

• Aritmetikens fundamentalsats
• Kvadratroten ur 3
• Kvadratroten ur 5

Källor

• Morris Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, New York, Oxford University Press 1972.