Binära talsystemet

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Uppslagsordet ”Binär” leder hit. För binär inom logiken, se Binär (logik).
Den egyptiska guden Horus öga som användes av egyptierna för att räkna binärt.

Det binära talsystemet är ett system grundat på talbasen två och används för att skriva tal med hjälp av endast de två siffrorna, 0 och 1. Binär talrepresentation används i praktiken i alla datorer eftersom dessa nyttjar digital elektronik. Det binära talsystemet är naturligt och effektivt i de fall där logiskt resonerande överförts till kalkyl. Detta sker i den booleska algebran, där de logiska sanningsvärdena, falskt och sant representeras av talen 0 respektive 1.

I Europa var Caramuel först med att beskriva det binära talsystemet som han då kallade Dyadik, medan Gottfried Leibniz gjorde det känt för en bredare publik. Talsystemet uppfanns dock långt tidigare av matematikern Pingala, men blev inte känt i västerlandet förrän omkring 200 efter Kristus.

Talen 0 till och med 16 i det decimala systemet kan alltså skrivas som:

0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111, 10 000.

Egyptierna använde det binära talsystemet för att skriva bråktal i decimalform. De använde sig dock inte av nollor och ettor, utan av en symbol kallad 'Horus öga'. Olika delar av symbolen motsvarade olika positioner på höger sida om kommatecknet. Om just den delen ritades ut motsvarade det en etta på den positionen, om den utelämnades motsvarade det en nolla.[1]

Liksom i det decimala talsystemet är siffran längst till höger minst signifikant. Med en siffra kan endast talen 0 och 1 skrivas. För att skriva talet 2 måste ytterligare en siffra skrivas till vänster om den första, det vill säga '10', varpå talet 3 följer representerat som '11', etcetera.

Exempel på hur man kan skriva för att konvertera ett binärt tal till decimaltal:

Om det binära talet är 10101101 så motsvaras det av det decimala talet

 1·27 + 0·26 + 1·25 + 0·24 + 1·23 + 1·22 + 0·21 + 1·20 =

 128  +   0  +  32  +   0  +   8  +   4  +   0  +   1  = 173

Om ett binärkomma finns i talet så representeras siffrorna till höger om detta av 2-potenser med negativ exponent. Exempel:

   11,0012 = 1·21 + 1·20 + 0·2-1 + 0·2-2 + 1·2-3 = 2 + 1 + 0 + 0,125 = 3,12510

Datorer använder dock ofta andra representationer för decimaltal, vanligast flyttalsrepresentation.

Horners metod[redigera | redigera wikitext]

En intressant egenskap i det binära talsystemet är att en multiplikation med två erhålles genom att helt enkelt skifta alla siffror en plats åt vänster och sätta dit en nolla. Denna egenskap ger följande intressanta variant av Horners metod: För att enkelt beräkna det decimala värdet av ett binärt tal i huvudet behöver du bara läsa talet från vänster och multiplicera varje delsumma med två; om den binära siffran är en etta så addera dessutom en etta till summan. Man börjar med summan 0. Med samma exempelsträng som ovan (10101101) blir det så här:

 0·2+1=1 , 1·2=2, 2·2+1=5, 5·2=10, 10·2+1=21, 21·2+1=43, 43·2=86, 86·2+1=173

Omvandlare[redigera | redigera wikitext]

Bas Namn Tal
2 Binära talsystemet 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 10000
3 Ternära talsystemet 0 1 2 10 11 12 20 21 22 100 101 102 110 111 112 120 121
4 Kvarternära talsystemet 0 1 2 3 10 11 12 13 20 21 22 23 30 31 32 33 100
5 Kvinära talsystemet 0 1 2 3 4 10 11 12 13 14 20 21 22 23 24 30 31
6 Senära talsystemet 0 1 2 3 4 5 10 11 12 13 14 15 20 21 22 23 24
7 Septenära talsystemet 0 1 2 3 4 5 6 10 11 12 13 14 15 16 20 21 22
8 Oktala talsystemet 0 1 2 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14 15 16 17 20
9 Nonära talsystemet 0 1 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 14 15 16 17
10 Decimala talsystemet 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
11 Undecimala talsystemet 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A 10 11 12 13 14 15
12 Duodecimala talsystemet 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10 11 12 13 14
13 Tridecimala talsystemet 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C 10 11 12 13
14 Tetradecimala talsystemet 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D 10 11 12
15 Pentadecimala talsystemet 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E 10 11
16 Hexadecimala talsystemet 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10

Källor[redigera | redigera wikitext]

  • P-E Danielsson, Digital Teknik, Studentlitteratur, Lund 1969.
  1. ^ ”Eye of Horus Fractions” (PDF). Journal of Health Research College of Public Health Sciences Chulalongkorn University. http://www.cph.chula.ac.th/J%20Health%20Res/files/FullText/23/3/indisecover.pdf. Läst 6 augusti 2010. 
Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.