Differentialekvation

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

En differentialekvation är en ekvation som beskriver ett samband mellan en okänd funktion och dess derivator. Differentialekvationer är ett slags funktionalekvationer. De har mycket viktiga tillämpningar inom bland annat fysik, biologi och nationalekonomi.

Differentialekvationen kallas ordinär, om den obekanta funktionen är en funktion av endast en variabel. Om funktionen är av flera variabler, så att dess derivator är partiella derivator, kallas ekvationen en partiell differentialekvation.

Tillämpningar[redigera | redigera wikitext]

Svängande membran beräknat med en partiell differentialekvation Vattendroppar ger upphov till vågor som kan beskrivas med partiella differentialekvationer
Svängande membran beräknat med en partiell differentialekvation
Vattendroppar ger upphov till vågor som kan beskrivas med partiella differentialekvationer

Differentialekvationer används bland annat för att konstruera matematiska modeller av fysikaliska fenomen inom till exempel flödesdynamik eller mekanik. Därför är studiet av differentialekvationer ett omfattande område inom både ren och tillämpad matematik. En matematisk modell behandlar ofta en förändring av en variabel med avseende på en annan variabel. Förändringar kan uttryckas med hjälp av derivator och matematiska modeller innehåller därför ofta differentialekvationer.

Lösningar till differentialekvationer ligger till grund för till exempel formgivning av broar, bilar och flygplan. Differentialekvationer är också användbara inom andra områden så som framtagandet av ekonomiska modeller.

Beteckningar[redigera | redigera wikitext]

Låt y vara en funktion av x. Derivatorna kan skrivas med Lagranges notation som

y', y'',\dots, y^{(n)}

eller med Leibniz notation som

{dy \over dx}, {d^{2}y \over dx^2}, ..., {d^{(n)}y \over dx^{(n)}}.

Exempel på en ordinär differentialekvation av andra ordningen:

y'' + 3 x\,y' + y = 0

De partiella derivatorna upp till ordning 2, av en funktion u av två variabler kan skrivas som

 \frac{\partial u(x,y)}{\partial x},\frac{\partial u(x,y)}{\partial y}, 
\frac{\partial^2 u(x,y)}{\partial x^2},\frac{\partial^2 u(x,y)}{\partial y^2},\frac{\partial^2 u(x,y)}{\partial x \partial y},\frac{\partial^2 u(x,y)}{\partial y \partial x}

(De två sista derivatorna är identiska för en stor klass funktioner, men inte för alla.)

En enkel partiell differentialekvation är den linjära transportekvationen i en dimension, som har formen

 \frac{\partial u(x,t)}{\partial t} + c \frac{\partial u(x,t)}{\partial x} = 0

med den reella konstanten c.

Ordinära differentialekvationer[redigera | redigera wikitext]

En ekvation för bestämning av en obekant funktion y(x) av en variabel, där förutom funktionen även dess derivator ingår, kallas en ordinär differentialekvation (ODE) och kan skrivas

F\left(x,y(x),y'(x), \ldots, y^{(n)}(x)\right ) = 0

och sägs vara av n:e ordningen. Allmänna lösningen till en ekvation av n:e ordningen innehåller n godtyckliga konstanter. Vid praktiska problem bestäms konstanterna av givna begynnelse- eller randvärden.

En ekvation som innehåller funktionen och dess förstaderivata är en differentialekvation av första ordningen och så vidare. Exempelvis är differentialekvationen

\alpha y''(x) + \beta y'(x) + \gamma y(x) = 0

av andra ordningen.

Homogena och inhomogena differentialekvationer[redigera | redigera wikitext]

En ekvation

 \mathcal{L}(y)=h(x)=0

där h(x) är alla termer som endast beror av x, kallas homogen, i annat fall inhomogen.

Lösningen till en inhomogen, linjär ekvation kan skrivas

y=y_h+y_p

där y_h är den homogena lösningen och y_p är den partikulära lösningen, det vill säga, den specifika lösningen då h är nollskild.

Linjära och icke-linjära ekvationer[redigera | redigera wikitext]

En differentialekvation kan skrivas på den förenklade formen

 \mathcal{L}(y)=h(x)

där h(x) är alla termer som endast beror av x.

För att en ordinär differentialekvationen skall vara linjär måste den uppfylla

 \mathcal{L}(y_1+y_2)=\mathcal{L}(y_1)+\mathcal{L}(y_2)

och

 \mathcal{L}(\alpha(x)y)=\alpha(x)\mathcal{L}(y).

Alltså gäller

\mathcal{L}(y)=f_n(x)y^{(n)}+f_{n-1}(x)y^{(n-1)}\dots f_1(x) y'+f_0(x) y

Exempel:

{d^{2}y \over dx^2} + y^3 =0

är icke-linjär på grund av termen y^3, liksom

y{d^{2}y \over dx^2} +\frac{dy}{dx} + y =0

på grund av termen y{d^{2}y \over dx^2}, men

{d^{2}y \over dx^2} + y = x^3

är linjär. x^3 i högerledet inverkar inte på lineariteten.

Beroende och oberoende variabel[redigera | redigera wikitext]

I till exempel differentialekvationen

{d^{2}y \over dx^2} + y^2 = 0

är y den beroende variabeln och x är den oberoende variabeln.

Partiella differentialekvationer[redigera | redigera wikitext]

Partiella differentialekvationer (PDE) är ekvationer av en eller flera okända funktioner, som uppfyller kriterierna

  • Den okända funktionen beror av åtminstone två variabler
  • I ekvationen förekommer partiella derivator med avseende på åtminstone två variabler
  • I ekvationen förekommer endast partiella derivator av den obekanta funktionen

Den implicita formen av en partiell differentialekvation för en funktion u av två variabler x och y, kan skrivas

 F\left(x,y,u(x,y),\frac{\partial u(x,y)}{\partial x},\frac{\partial u(x,y)}{\partial y}, 
\ldots,\frac{\partial^2 u(x,y)}{\partial x \partial y},\ldots \right) = 0,

där F är en godtycklig funktion.

Linjära och olinjära ekvationer[redigera | redigera wikitext]

En partiell differentialekvation är linjär om den okända funktionen och alla förekommande derivator uppträder linjärt. Detta innebär att koefficienterna endast beror på funktioner av variablerna hos den okända funktionen och inte av själva funktionen.

Exempel på en icke-linjär partiell differentialekvation är

\frac{\partial u(x,t)}{\partial t} + u(x,t) \frac{\partial u(x,t)}{\partial x} = 0

Lösningar till ordinära differentialekvationer[redigera | redigera wikitext]

Att lösa en differentialekvation innebär att finna den funktion som uppfyller ekvationen. Till exempel har den homogena ekvationen av första ordningen

y'+ay=0

där a är en konstant, lösningen

y = C e^{-ax}

där C är en konstant, som bestäms av randvillkor eller begynnelsevärden.

En differentialekvation har oändligt många lösningar, men det finns satser som visar att det finns unika lösningar till vissa begynnelsevärdesproblem.

Det finns metoder för att bestämma lösningar till vissa typer av differentialekvationer. I de flesta fall saknas sådana metoder, men alla differentialekvationer kan lösas approximativt med numeriska metoder.

En explicit lösning till en differentialekvation är en funktion av den oberoende variabeln som löser differentialekvationen (av formen y(x) = ...). En implicit lösning är ett förhållande mellan den beroende och den oberoende variabeln som indirekt definierar en funktion som är en explicit lösning (till exempel sin(x + y) = xy + 2x).

Bakterietillväxt[redigera | redigera wikitext]

En differentialekvation kan användas till att beskriva bakterietillväxt i en lösning. Eftersom varje bakterie delar sig med en viss hastighet, är bakterietillväxten proportionell mot antalet bakterier vid en given tidpunkt. Om N anger antalet bakterier vid tiden t gäller därför sambandet

N'(t) = k \cdot N(t)

Lösningen till denna differentialekvation är en funktion som har egenskapen att funktionens derivata är proportionell mot funktionen själv. Exponentialfunktionen är den enda funktion som har denna egenskap och lösningen måste således vara en exponentialfunktion.

Uppenbarligen är denna modell av bakterietillväxten bara approximativ - bland annat genom att bakterietillväxten i en lösning så småningom måste avstanna i brist på näring.

Fritt fall[redigera | redigera wikitext]

Ett föremål släpps från en viss höjd h och faller på grund av gravitationskraften F. Här görs förenklingen att gravitationen är den enda kraft som verkar på föremålet och att gravitationen är konstant. I verkligheten finns också andra krafter, till exempel luftmotstånd.

Enligt Newtons andra lag är ett föremåls massa m multiplicerat med dess acceleration a lika med den kraftF som verkar på föremålet:

m \cdot a = F

Accelerationen är derivatan av hastigheten v med avseende på tid t, eller:

a = {dv \over dt}

Hastigheten är i sin tur derivatan av sträckan, eller i detta fall höjden h med avseende på tid t:

v = {dh \over dt}

Alltså är accelerationen andraderivatan av höjden:

a = {d^{2}h \over dt^2}

Den kraft F som verkar på föremålet antogs vara endast gravitationen. Newtons andra lag kan då skrivas som:

m \cdot {d^{2}h \over dt^2} = -mg

(Minustecken eftersom man enligt konvention räknar krafter positiva från jorden.)

Differentialekvationen går lätt att lösa med avseende på h. Först divideras med m, vilket ger

{d^{2}h \over dt^2} = -g

Integrering av båda leden ger

{dh \over dt} = -gt + C_1

och ytterligare en integrering ger

h = h(t) = -{gt^2 \over 2} + C_{1}t + C_2

Integrationskonstanterna C_1 och C_2 kan bestämmas om föremålets begynnelsehöjd och begynnelsehastighet är kända.

Resultatet är en funktion, eller en formel, för föremålets höjdläge vid tiden t.

Metoder för lösning av differentialekvationer[redigera | redigera wikitext]

Vissa differentialekvationer kan lösas analytiskt och lösningen blir då exakt. I analytiska lösningar kan man använda transformation, oftast Laplacetransformation för ordinära differentialekvationer och Fouriertransformation för partiella.

För de flesta differentialekvationer behövs numeriska metoder. Några vanliga numeriska metoder för lösning av differentialekvationer är Eulers metod och Runge-Kuttas metod för begynnelsevärdesproblem, och provskottsmetoden för randvärdesproblem. Partiella differentialekvationer är särskilt känsliga för fel i lösningen.

Se även[redigera | redigera wikitext]

Office-book.svg
Den här artikeln ingår i boken: 
Matematik 

Källor[redigera | redigera wikitext]

  • Persson, Arne & Böiers, Lars-Christer (2001). Analys i en variabel (2 uppl). Lund: Studentlitteratur. ISBN 91-44-02056-2 

Fotnoter[redigera | redigera wikitext]

</references>

Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.