Differentialekvation

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

En differentialekvation är en ekvation som beskriver ett samband mellan en okänd funktion och dess derivator. Differentialekvationer är ett slags funktionalekvationer. De har mycket viktiga tillämpningar inom bland annat fysik, biologi och nationalekonomi.

Differentialekvationen kallas ordinär, om den obekanta funktionen är en funktion av endast en variabel. Om funktionen är av flera variabler, så att dess derivator är partiella detrivator, kallas ekvationen en partiell differentialekvation. I artikeln behandlas i första hand ordinära differentialekvationer.

Tillämpningar[redigera | redigera wikitext]

Differentialekvationer används bland annat för att konstruera matematiska modeller av fysikaliska fenomen inom till exempel flödesdynamik eller mekanik. Därför är studiet av differentialekvationer ett omfattande område inom både ren och tillämpad matematik. En matematisk modell behandlar ofta en förändring av en variabel med avseende på en annan variabel. Förändringar kan uttryckas med hjälp av derivator och matematiska modeller innehåller därför ofta differentialekvationer.

Lösningar till differentialekvationer ligger till grund för till exempel formgivning av broar, bilar och flygplan. Differentialekvationer är också användbara inom andra områden så som framtagandet av ekonomiska modeller.

Definitioner[redigera | redigera wikitext]

En differentialekvation är en ekvation där en eller flera derivator av en okänd funktion ingår. I ekvationen kan även funktionen själv och och dess oberoende variabel eller variabler ingå.[1]

Låt y vara en funktion av x. Derivatorna kan skrivas med Lagranges notation som

y', y'',\dots, y^{(n)}

eller med Leibniz notation som

{dy \over dx}, {d^{2}y \over dx^2}, ..., {d^{(n)}y \over dx^{(n)}}.

En differentialekvation kan skrivas

 \mathcal{L}(y)=h(x)

där \mathcal{L}(y) är en godtycklig samling termer som innehåller minst en faktor av y och en eller flera av dess derivator multiplicerade med kända funktioner av x och där h(x) är en känd funktion av x.

Ordning[redigera | redigera wikitext]

En differentialekvations ordning är ordningen hos den högsta förekommande derivatan. En ekvation som innehåller funktionen och dess förstaderivata är en differentialekvation av första ordningen och så vidare.[2] Exempelvis är differentialekvationen

\alpha y''(x) + \beta y'(x) + \gamma y(x) = 0

av andra ordningen.

Beroende och oberoende variabel[redigera | redigera wikitext]

I till exempel differentialekvationen

{d^{2}y \over dx^2} + y^2 = 0

är y den beroende variabeln och x är den oberoende variabeln.

Ordinär och partiell differentialekvation[redigera | redigera wikitext]

Ordinära differentialekvationer (ODE) innehåller endast derivator med avseende på en enda oberoende variabel. I partiella differentialekvationer (PDE) är y en funktion av flera variabler och differentialekvationen innehåller partiella derivator med avseende på mer än en oberoende variabel.[2]

Linjära och icke-linjära ordinära differentialekvationer[redigera | redigera wikitext]

För att en ordinär differentialekvationen skall vara linjär måste den uppfylla [3]

 \mathcal{L}(y_1+y_2)=\mathcal{L}(y_1)+\mathcal{L}(y_2)

och

 \mathcal{L}(\alpha(x)y)=\alpha(x)\mathcal{L}(y).

Alltså gäller

\mathcal{L}(y)=f_n(x)y^{(n)}+f_{n-1}(x)y^{(n-1)}\dots f_1(x) y'+f_0(x) y

Exempel:

{d^{2}y \over dx^2} + y^3 =0

är icke-linjär på grund av termen y^3, liksom

y{d^{2}y \over dx^2} +\frac{dy}{dx} + y =0

på grund av termen y{d^{2}y \over dx^2}, men

{d^{2}y \over dx^2} + y = x^3

är linjär. x^3 i högerledet inverkar inte på lineariteten.

Homogen och inhomogen differentialekvation[redigera | redigera wikitext]

En ekvation

 \mathcal{L}(y)=h(x)

för vilken h(x)=0 kallas homogen, i annat fall inhomogen.

Lösningen till en inhomogen, linjär ekvation kan skrivas

y=y_h+y_p

där y_h är den homogena lösningen och y_p är den partikulära lösningen, det vill säga, den specifika lösningen då högerledet h är nollskilt.[3]

Differentialekvationer då oberoende term saknas[redigera | redigera wikitext]

Ett viktigt specialfall är då ekvationerna inte involverar någon oberoende term x. Dessa differentialekvationer kan representeras som vektorfält och har den viktiga egenskapen att rummet kan delas upp i ekvivalensklasser, där två punkter är ekvivalenta om de ligger på samma lösningskurva. Eftersom fysikens lagar antas vara konstanta över tiden, så kan den fysiska världen beskrivas av sådana differentialekvationer. (Se även symplektisk topologi för en diskussion.)

Lösningar[redigera | redigera wikitext]

Att lösa en differentialekvation innebär att finna den funktion som uppfyller ekvationen. Till exempel har den homogena ekvationen av första ordningen

y'+ay=0

där a är en konstant, lösningen

y = C e^{-ax}

där C är en konstant, som bestäms av randvillkor eller begynnelsevärden.

En differentialekvation har oändligt många lösningar, men det finns satser som visar att det finns unika lösningar till vissa begynnelsevärdesproblem.

Det finns metoder för att bestämma lösningar till vissa typer av differentialekvationer. I de flesta fall saknas sådana metoder, men alla differentialekvationer kan lösas approximativt med numeriska metoder.

En explicit lösning till en differentialekvation är en funktion av den oberoende variabeln som löser differentialekvationen (av formen y(x) = ...). En implicit lösning är ett förhållande mellan den beroende och den oberoende variabeln som indirekt definierar en funktion som är en explicit lösning (till exempel sin(x + y) = xy + 2x).

Bakterietillväxt[redigera | redigera wikitext]

En differentialekvation kan användas till att beskriva bakterietillväxt i en lösning. Eftersom varje bakterie delar sig med en viss hastighet, är bakterietillväxten proportionell mot antalet bakterier vid en given tidpunkt. Om N anger antalet bakterier vid tiden t gäller därför sambandet

N'(t) = k \cdot N(t)

Lösningen till denna differentialekvation är en funktion som har egenskapen att funktionens derivata är proportionell mot funktionen själv. Exponentialfunktionen är den enda funktion som har denna egenskap och lösningen måste således vara en exponentialfunktion.

Uppenbarligen är denna modell av bakterietillväxten bara approximativ - bland annat genom att bakterietillväxten i en lösning så småningom måste avstanna i brist på näring.

Fritt fall[redigera | redigera wikitext]

Ett föremål släpps från en viss höjd h och faller på grund av gravitationskraften F. Här görs förenklingen att gravitationen är den enda kraft som verkar på föremålet och att gravitationen är konstant. I verkligheten finns också andra krafter, till exempel luftmotstånd.

Enligt Newtons andra lag är ett föremåls massa m multiplicerat med dess acceleration a lika med den kraftF som verkar på föremålet:

m \cdot a = F

Accelerationen är derivatan av hastigheten v med avseende på tid t, eller:

a = {dv \over dt}

Hastigheten är i sin tur derivatan av sträckan, eller i detta fall höjden h med avseende på tid t:

v = {dh \over dt}

Alltså är accelerationen andraderivatan av höjden:

a = {d^{2}h \over dt^2}

Den kraft F som verkar på föremålet antogs vara endast gravitationen. Newtons andra lag kan då skrivas som:

m \cdot {d^{2}h \over dt^2} = -mg

(Minustecken eftersom man enligt konvention räknar krafter positiva från jorden.)

Differentialekvationen går lätt att lösa med avseende på h. Först divideras med m, vilket ger

{d^{2}h \over dt^2} = -g

Integrering av båda leden ger

{dh \over dt} = -gt + C_1

och ytterligare en integrering ger

h = h(t) = -{gt^2 \over 2} + C_{1}t + C_2

Integrationskonstanterna C_1 och C_2 kan bestämmas om föremålets begynnelsehöjd och begynnelsehastighet är kända.

Resultatet är en funktion, eller en formel, för föremålets höjdläge vid tiden t.

Metoder för lösning av differentialekvationer[redigera | redigera wikitext]

Vissa differentialekvationer kan lösas analytiskt och lösningen blir då exakt. I analytiska lösningar kan man använda transformation, oftast Laplacetransformation för ordinära differentialekvationer och Fouriertransformation för partiella.

För de flesta differentialekvationer behövs numeriska metoder. Några vanliga numeriska metoder för lösning av differentialekvationer är Eulers metod och Runge-Kuttas metod för begynnelsevärdesproblem, och provskottsmetoden för randvärdesproblem. Partiella differentialekvationer är särskilt känsliga för fel i lösningen.

Se även[redigera | redigera wikitext]

Office-book.svg
Den här artikeln ingår i boken: 
Matematik 

Källor[redigera | redigera wikitext]

  • Persson, Arne & Böiers, Lars-Christer (2001). Analys i en variabel (2 uppl). Lund: Studentlitteratur. ISBN 91-44-02056-2 

Fotnoter[redigera | redigera wikitext]

  1. ^ Rodhe, Staffan (2013). Matematik för ingenjörer (6.5). sid. 399,402. ISBN 978-91-44-06796-4 
  2. ^ [a b] Persson & Böiers (2001), sid. 358
  3. ^ [a b] Persson & Böiers (2001), sid. 376
Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.