Differentialekvation

Inom matematisk analys beskriver en differentialekvation sambandet mellan en okänd funktion och dess derivator. Differentialekvationen är ett slag av funktionalekvation.

Tillämpningar

Differentialekvationer används bland annat för att konstruera matematiska modeller av fysikaliska fenomen inom till exempel flödesdynamik eller mekanik. Därför är differentialekvationer ett omfattande område inom både ren och tillämpad matematik. En matematisk modell behandlar ofta en förändring av en variabel med avseende på en annan variabel. Förändringar kan uttryckas med hjälp av derivator och matematiska modeller innehåller därför ofta differentialekvationer.

Lösningar till differentialekvationer ligger till grund för till exempel formgivning av broar, bilar och flygplan. Differentialekvationer är också användbara inom andra områden så som framtagandet av ekonomiska modeller.

Definitioner

Låt $y$ vara en funktion av $x$ och

$\ y', y'',\dots, y^{(n)}$

beteckna derivatorna

${dy \over dx}, {d^{2}y \over dx^2}, ..., {d^{(n)}y \over dx^{(n)}}.$

Vi kan skriva differentialekvationen

$\mathcal{L}(y)=h(x)$

där $\mathcal{L}(y)$ är en godtycklig samling termer som innehåller minst en faktor av y eller dess derivator, multiplicerade med kända funktioner av x.

Ordning

En differentialekvations ordning anger ordningen hos den högsta förekommande derivatan – en ekvation som innehåller funktionen och dess förstaderivata är av första ordningen, en som innehåller funktionen och dess andraderivata är av andra ordningen.

Differentialekvationen $\alpha y''(t) + \beta y'(t) + \gamma y(t) = 0$ är exempelvis av andra ordningen.

Beroende och oberoende variabel

$y$ är den beroende variabeln i differentialekvationen och
$x$ är den oberoende variabeln.

Ordinär och partiell differentialekvation

Ordinära differentialekvationer (ODE) innehåller endast derivator med avseende på en enda oberoende variabel. I partiella differentialekvationer (PDE) är $y$ en funktion av flera variabler och differentialekvationen innehåller partiella derivator med avseende på mer än en oberoende variabel.

Linjära och ickelinjära ordinära differentialekvationer

För att en ordinär differentialekvationen skall vara linjär måste den uppfylla

$\mathcal{L}(y_1+y_2)=\mathcal{L}(y_1)+\mathcal{L}(y_2)$

och

$\mathcal{L}(\alpha(x)y)=\alpha(x)\mathcal{L}(y).$

Alltså gäller att vi kan skriva

$\mathcal{L}(y)=f_n(x)y^{(n)}+f_{n-1}(x)y^{(n-1)}\dots f_1(x) y'+f_0(x) y$

Exempel:

${d^{2}y \over dx^2} + y^3 =0$

är icke-linjär på grund av termen $y^3$, liksom

$y{d^{2}y \over dx^2} +\frac{dy}{dx} + y =0$

på grund av termen $y{d^{2}y \over dx^2}$, men

${d^{2}y \over dx^2} + y = x^3$

är linjär. $x^3$ i högerledet inverkar inte på lineariteten.

Homogen

En ekvation för vilken $h(x)=0$ kallas homogen, i annat fall kallas den inhomogen. Lösningen till en inhomogen, linjär ekvation kan skrivas

$y=y_h+y_p$

där $y_h$ kallas homogenlösning och löser motsvarande homogena ekvation, och $y_p$ kallas partikulärlösning.

Lösningar

Problemet att lösa en differentialekvation består i att finna funktionen $y$ (och indirekt också dess derivator) som uppfyller ekvationen. Till exempel så har differentialekvationen $y'' + y = 0$ allmän lösning $y = A \cos{x} + B \sin{x}$, där $A$ och $B$ är konstanter som bestäms av randvillkor eller begynnelsevärden.

En differentialekvation har oändligt många lösningar. Däremot finns det satser som visar att det finns en unik lösning till vissa begynnelsevärdesproblem.

Det finns metoder för att bestämma lösningar till vissa typer av differentialekvationer. I de flesta fall saknas sådana metoder, men alla differentialekvationer kan lösas approximativt med numeriska metoder.

En explicit lösning till en differentialekvation är en funktion av den oberoende variabeln som löser differentialekvationen. En implicit lösning är ett förhållande mellan den beroende och den oberoende variabeln som indirekt definierar en funktion som är en explicit lösning.

Differentialekvationer då oberoende term saknas

Ett viktigt specialfall är då ekvationerna inte involverar någon oberoende term $x$. Dessa differentialekvationer kan representeras som vektorfält, och har den viktiga egenskapen att rummet kan delas upp i ekvivalensklasser, där två punkter är ekvivalenta om de ligger på samma lösningskurva. Eftersom fysikens lagar antages vara konstanta över tiden, så styrs den fysiska världen av sådana differentialekvationer. (Se även symplektisk topologi för en abstrakt diskussion.)

Exempel

Bakterietillväxt

Ett typiskt skolexempel som brukar användas för att introducera differentialekvationer är bakterietillväxt i en lösning. Eftersom varje bakterie delar sig med en viss hastighet är bakterietillväxten proportionell mot det totala antalet bakterier vid en given tidpunkt. Om $N$ anger antalet bakterier vid tiden $t$ vet vi därför att

$N'(t) = k \cdot N(t)$

Lösningen till denna differentialekvation är en funktion som har egenskapen att funktionens derivata är proportionell mot funktionen själv. Exponentialfunktionen har precis denna egenskap. Man inser alltså att lösningen måste vara en exponentialfunktion.

Man inser att denna modell av bakterietillväxten bara är approximativ - bland annat genom att bakterietillväxten i en lösning så småningom måste avstanna i brist på näring.

Fritt fall

Ett föremål släpps från en viss höjd $h$ och faller på grund av gravitationskraften $F$. Här görs förenklingarna att gravitationen är den enda kraften som verkar på föremålet, och att gravitationen är konstant. I verkligheten finns också andra krafter, till exempel luftmotstånd.

Enligt Newtons andra lag är ett föremåls massa $m$ multiplicerat med dess acceleration $a$ är lika med den totala kraft$F$ som verkar på föremålet, eller:

$m \cdot a = F$

Accelerationen är derivatan av hastigheten $v$ med avseende på tid $t$, eller:

$a = {dv \over dt}$

Hastigheten är i sin tur derivatan av sträckan, eller i detta fall höjden $h$ med avseende på tid $t$, eller:

$v = {dh \over dt}$

Alltså är accelerationen andraderivatan av höjden:

$a = {d^{2}h \over dt^2}$

Den totala kraften $F$ som verkar på föremålet antogs vara endast gravitationen $g$. Newtons andra lag kan då skrivas som:

$m \cdot {d^{2}h \over dt^2} = -mg$

(Minustecken eftersom man enligt konvention räknar krafter positiva från jorden.)

Differentialekvationen går lätt att lösa med avseende på $h$. Först divideras med $m$, vilket ger

${d^{2}h \over dt^2} = -g$

Integrering av båda leden ger

${dh \over dt} = -gt + C_1$

och ytterligare en integrering ger

$h = h(t) = -{gt^2 \over 2} + C_{1}t + C_2$

Integrationskonstanterna $C_1$ och $C_2$ kan bestämmas om man vet föremålets begynnelsehöjd och begynnelsehastighet.

Resultatet är en funktion, eller en formel, för föremålets höjdläge vid tiden $t$.

Metoder för lösning av differentialekvationer

Vissa differentialekvationer kan lösas analytiskt, och lösningen blir då exakt. I analytiska lösningar kan man använda transformation, oftast Laplacetransformation för ordinära differentialekvationer och Fouriertransformation för partiella.

För de flesta differentialekvationer behövs numeriska metoder. Några vanliga numeriska metoder för lösning av differentialekvationer är Eulers metod och Runge-Kuttas metod för begynnelsevärdesproblem, och provskottsmetoden för randvärdesproblem. Partiella differentialekvationer är särskilt känsliga för fel i lösningen.

Se även

• Ordinär differentialekvation
• Differentialekvationer av första ordningen
• Linjära ordinära differentialekvationer med konstanta koefficienter
• Begynnelsevärdesproblem
• Differensekvation
• Laplacetransformen av differentialekvationer

Källor

• Persson, Arne & Böiers, Lars-Christer (2001). Analys i en variabel (utgåva 2 uppl). Lund: Studentlitteratur. ISBN 91-44-02056-2