Trigonometrisk funktion

Inom tillämpad matematik är trigonometriska funktioner en klass av funktioner vars funktionsvärde beror av en vinkel. Mera specifikt beskriver de hur vinklar och sidor hos trianglar är relaterade till varandra. De har sitt ursprung inom geometri men används inom flera grenar av matematiken liksom inom många tillämpade vetenskaper. De trigonometiska funktionerna är periodiska och är viktiga inom matematisk analys för att studera såväl periodiska som icke-periodiska funktioner (se Fourieranalys).

De grundläggande trigonometriska funktionerna är sinus, cosinus och tangens samt deras inverterade motsvarigheter (cosekant, sekant och cotangens). Ibland räknas även kordafunktionen, som var den historiskt äldsta, till de trigonometriska funktionerna.

Funktion	Förkortning	Beskrivning	Identitet (med radianer)
Sinus	sin	$\frac {\mbox{motstående katet}} {\mbox{hypotenusa}}$	$\sin \theta \equiv \cos \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{1}{\csc \theta}$
Cosinus eller kosinus	cos	$\frac {\mbox{närliggande katet}} {\mbox{hypotenusa}}$	$\cos \theta \equiv \sin \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{1}{\sec \theta}\,$
Tangens eller tangent	tan (ibland tg)	$\frac {\mbox{motstående katet}} {\mbox{närliggande katet}}$	$\tan \theta \equiv \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \equiv \cot \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{1}{\cot \theta}$
Cotangens, kotangens, cotangent eller kotangent	cot (ibland ctg eller ctn)	$\frac {\mbox{närliggande katet}} {\mbox{motstående katet}}$	$\cot \theta \equiv \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \equiv \tan \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{1}{\tan \theta}$
Sekant eller sekans	sec	$\frac {\mbox{hypotenusa}} {\mbox{närliggande katet}}$	$\sec \theta \equiv \csc \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv\frac{1}{\cos \theta}$
Cosekant, kosekant, cosekans eller kosekans	csc (ibland cosec)	$\frac {\mbox{hypotenusa}} {\mbox{motstående katet}}$	$\csc \theta \equiv \sec \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv\frac{1}{\sin \theta}$
Korda	crd	$\mbox{crd}\ \theta \equiv \sqrt{(1-\cos \theta)^2+\sin^2 \theta} \equiv \sqrt{2-2\cos \theta} \equiv 2 \sqrt{\frac{1-\cos \theta}{2}} \equiv 2 \sin \frac{\theta}{2}$

Funktionerna kan definieras på flera olika, men ekvivalenta sätt, exempelvis:

• för allmänna trianglar som kvoten mellan två sidor i en rätvinklig triangel (dock endast för argument i första kvadranten)
• som koordinaterna för en punkt på enhetscirkeln eller kvoter mellan dessa värden
• som en potensserieutveckling

Användbara samband mellan funktionerna finns listade i artikeln Lista över trigonometriska identiteter.

Geometrisk definition

Hypotenusan är motstående sida till den räta vinkeln, i detta fall c. Sidorna a och b är katetrar.

1. sinus för en vinkel är kvoten av motstående katet och hypotenusan

$\sin A = {a \over c}$

2. cosinus för vinkeln A är kvoten av närliggande katet och hypotenusan

$\cos A = {b \over c}$

3. tangens för vinkeln A är kvoten av motstående och närliggande katet

$\tan A = {a \over b}$.

I främst engelskspråkig litteratur kan man stöta på ytterligare tre trigonometriska funktioner:

4. cosekant är inverterade värdet av sin A, det vill säga kvoten av hypotenusan och motstående katet

$\csc A = {c \over a}$

5. sekant, är inverterade värdet av cos A, det vill säga kvoten av hypotenusan och närliggande katet

$\sec A = {c \over b}$

6. cotangens är inverterade värdet av tan A, det vill säga kvoten av närliggande och motstående katet

$\cot A = {b \over a}$.

Samtliga trigonometriska funktioner baseras på förhållandet mellan två av triangelns tre sidor. Då Pythagoras sats ger den tredje sidan om två är kända, skulle strängt taget en enda trigonometrisk funktion, exempelvis sin A, vara tillräckligt.

I praktiken används både sinus och cosinus ofta och tangens är ganska vanlig. Med dessa tre kan man direkt ställa upp uttryck för godtyckliga trigonometriska problem. De sista tre funktionerna som utgör inverterade värden tillför inte mycket och används därför sällan. Det kan dock vara bra att känna till deras definition.

Analys

Sinus- och cosinusfunktionernas derivator är:

$\frac{d}{dx}\sin x =\cos x \qquad \frac{d}{dx}\cos x =-\sin x$

Därmed är Taylorserierna för respektive funktioner

$\sin x =\sum_{k=0}^{\infty }\frac{(-1)^{k}x^{2k+1}}{(2k+1)!} \qquad \cos x =\sum_{k=0}^{\infty }\frac{(-1)^{k}x^{2k}}{(2k)!}$

där x anges i radianer.

Vidare har vi att

$e^{x}=\sum_{k=0}^{\infty }\frac{x^{k}}{k!}$

Om vi sätter x = iy, där i är komplexa enheten, dvs. i² = -1, kan Eulers formel erhållas:

$\ e^{iy}=\cos y +i\sin y$

eller att

$\cos y =\frac{e^{iy}+e^{-iy}}{2} \qquad \sin y =\frac{e^{iy}-e^{-iy}}{2i}$

Med y = π så fås vad som har kallats The most remarkable formula in the world (Richard Feynman), nämligen Eulers identitet,

$\ e^{i\pi}+ 1 = 0$

Trigonometriska identiteter

Samband för en vinkel

$\begin{align} \sin^2\theta &+ \cos^2 \theta = 1 \\ \sin 2\theta &= 2 \sin\theta \cos\theta \\ \cos 2\theta &= 2 \cos^2\theta - 1 = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 1 - 2 \sin^2\theta \\ \tan\theta &= \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \\ \end{align}$

Samband för två vinklar

$\begin{align} \sin(x + y) &= \sin(x) \cos(y) + \cos(x) \sin(y) \\ \cos(x + y) &= \cos(x) \cos(y) - \sin(x) \sin(y) \\ \tan(x + y) &= \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y} \\ \end{align}$

Se även artikeln derivata för de trigonometriska funktionernas derivator.

Linjärkombinationer

En summa eller en differens av en sinus- respektive cosinusfunktion ger en sinusfunktion som resultat. Sambanden

$a\sin\alpha + b\cos\alpha = \sqrt{a^2 + b^2} * \sin(\alpha + \beta)$

$a\sin\alpha - b\cos\alpha = \sqrt{a^2 + b^2} * \sin(\alpha - \beta)$

gäller då amplituderna $a > 0$ och $b > 0$, samt att $\tan\beta = \frac{b}{a}$ för vinkeln $0 < \beta < \pi/2$.

Exakta trigonometriska funktionsvärden

För vissa vinklar kan funktionsvärderna beräknas exakt.

Antag en likbent rätvinklig triangel. Den har två lika vinklar θ = 45° = π/4 rad. Vi kan välja a = b = 1. Från detta kan sin, cos och tan för vinkeln 45° beräknas då Pythagoras sats ger hypotenusan c = √(a² + b²) = √2

Därför,

$\sin \left(45^\circ\right) = {1 \over \sqrt2}$

$\cos \left(45^\circ\right) = {1 \over \sqrt2}$

$\tan \left(45^\circ\right) =\frac{\frac{1} {\sqrt2}}{\frac{1}{\sqrt2}} = 1$

För att bestämma de trigonometriska funktionernas värden för 60° = π/3 och 30° = π/6 antar vi en liksidig triangel med sidlängden 1 och vinklarna θ = 60°. Genom att bilda höjden mot en av sidorna får vi två nya trianglar med sidorna a = (√3)/2 (höjden), b = 1/2 (halva sidan)och c = 1.

Detta ger

$\sin \left(30^\circ\right) = \frac{1} {2}$

$\cos \left(30^\circ\right) = \frac{\sqrt3}{ 2}$

$\tan \left(30^\circ\right) = \frac{1}{\sqrt3}$

och

$\sin \left(60^\circ\right) = \frac{\sqrt3}{2}$

$\cos \left(60^\circ\right) = \frac{1}{2}$

$\tan \left(60^\circ\right) = \sqrt3$

Vinklar som kan uttryckas i baser av dessa vinklar (30°, 45°, 60° och 90°) kan sedan beräknas genom att använda trigonometriska identiteter. Exempelvis, cos 22,5° kan beräknas från cos 45° = 1/√2

1/√2 = cos(45°) = cos(22,5° + 22,5°) = ... = 2·cos²(22,5°) - 1<=> cos(22,5°) = √(1+1/√2).

Värdetabell

Vinkel $\alpha$		$\sin\alpha$	$\cos\alpha$	$\tan\alpha$	$\cot\alpha$	$\sec\alpha$	$\csc\alpha$
i grader	i radianer
$0^\circ$	$0$	$0$	$1$	$0$	$\mp \infty$	$1$	$\mp \infty$
$15^\circ$	$\frac{\pi}{12}$	$\frac{1}{4}\left(\sqrt{6} - \sqrt{2}\right)$	$\frac{1}{4}\left(\sqrt{6} + \sqrt{2}\right)$	$2 - \sqrt{3}$	$2 + \sqrt{3}$	$\sqrt{6} - \sqrt{2}$	$\sqrt{6} + \sqrt{2}$
$18^\circ$	$\frac{\pi}{10}$	$\frac{1}{4}\left(\sqrt{5} - 1\right)$	$\frac{1}{4}\sqrt{10 + 2 \sqrt{5}}$	$\sqrt{1 - 0.4 \sqrt{5}}$	$\sqrt{5 + 2 \sqrt{5}}$	$\sqrt{2 - \frac{2}{\sqrt{5}}}$	$\sqrt{5} + 1$
$30^\circ$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt3}{2}$	$\frac{1}{\sqrt3}$	$\sqrt3$	$\frac{2}{\sqrt3}$	$2$
$36^\circ$	$\frac{\pi}{5}$	$\frac{1}{4}\sqrt{10 - 2 \sqrt{5}}$	$\frac{1}{4}\left(\sqrt{5} + 1\right)$	$\sqrt{5 - 2 \sqrt{5}}$	$\sqrt{1 + 0.4 \sqrt{5}}$	$\sqrt{5} - 1$	$\sqrt{2 + \frac{2}{\sqrt{5}}}$
$45^\circ$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{1}{\sqrt2}$	$\frac{1}{\sqrt2}$	$1$	$1$	$\sqrt2$	$\sqrt2$
$60^\circ$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\sqrt3}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt3$	$\frac{1}{\sqrt3}$	$2$	$\frac{2}{\sqrt3}$
$90^\circ$	$\frac{\pi}{2}$	$1$	$0$	$\pm \infty$	$0$	$\pm \infty$	$1$
$120^\circ$	$\frac{2\pi}{3}$	$\frac{\sqrt3}{2}$	$-\frac{1}{2}$	$-\sqrt3$	$-\frac{1}{\sqrt3}$	$-2$	$\frac{2}{\sqrt3}$
$180^\circ$	$\pi$	$0$	$-1$	$0$	$\mp \infty$	$-1$	$\pm \infty$
$270^\circ$	$\frac{3\pi}{2}$	$-1$	$0$	$\pm \infty$	$0$	$\mp \infty$	$-1$
$360^\circ$	$2\pi$	$0$	$1$	$0$	$\mp \infty$	$1$	$\mp \infty$

Funktionsvärden för godtyckliga vinklar

De trigonometriska funktionerna kan även åskådliggöras med hjälp av enhetscirkeln, en cirkel med radien 1. Enhetscirkeln ger inga nya verktyg för att beräkna funktionsvärderna för olika vinklar, men är åskådlig för att tolka vinklar utanför intervallet $0-90$ grader eller $0 - \pi/2$ radianer.

I bilden är ett antal vinklar utritade, uttryckta i vinkelmåttet radianer. Vinklar mäts som positiva i moturs riktning och som negativa i medurs riktning.

Vinklar större än 2π eller mindre än -2π motsvarar rotationer större än ett varv, vilket illustrerar att sinus- och cosinusfunktionerna är periodiska (se periodiska funktioner) med perioden $2\pi$.

Sambandet

$\sin\theta = \sin\left(\theta + 2k\pi\right)$

$\cos\theta = \cos\left(\theta + 2k\pi\right)$

gäller för alla vinklar $\theta$ och heltal k.

Samtliga trigonometriska funktioner är periodiska. Sinus- och sekantfunktionerna har dubbelt så stor period som tangensfunktionerna:

Ovanstående figur illustrerar funktionerna sinus, cosinus, tangens, cosekant (streckad), sekant (streckad) och cotangens (streckad).

Serieutvecklingar

Om vinklarna anges i radianer gäller (se maclaurinutveckling)

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots; \quad -\infty < x < +\infty$

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots; \quad -\infty < x < +\infty$

$\tan x = x + \frac{1}{3}x^3 + \frac{2}{15}x^5 + \frac{17}{315}x^7 + \frac{62}{2835}x^9 + \cdots; \ \quad |x| < \frac{\pi}{2}$

Med hjälp av serieutveckling kan trigonometriska funktioner definieras även för komplexa värden.

Inversa funktioner

Inverser till de trigonometriska funktionerna existerar endast på begränsade intervall. Det finns funktioner dock som är definierade på olika interval som ibland oegentligt betecknas som inverser. Dessa kallas egentligen arcus-funktioner (till exempels arcus cosinus) I allmänhet brukar de förkortas med arctan, arcsin och arccos, men på miniräknare och i mindre nogräknade matematiska skrifter brukar dessa funktioner skrivas $tan^{-1}$, $sin^{-1}$ respektive $cos^{-1}$. Det finns en nackdel med denna notation, och det är att samma notation används i ett annat syfte. Till exempel gäller att $sin^{2}(x) = (sin (x))^2$ men inte $sin^{-1}(x) = (sin (x))^{-1}$. Därför bör inte $sin^{-1}$ användas när det finns risk för feltolkning. Funktionerna används till exempel för att beräkna värdet på en okänd vinkel i en rätvinklig triangel där sidlängderna är kända. I en rätvinklig triangel där kateterna har längderna a och b, har vinkeln mellan hypotenusan och kateten a värdet arctan(b/a) och vinkeln mellan hypotenusan och kateten b värdet arctan(a/b).

$\begin{matrix} y = \arcsin \left(x\right) & \iff & x = \sin \left(y\right) & \mbox{ om }\, & -\frac{\pi}{ 2} \le y \le \frac{\pi}{ 2} \\ y = \arccos \left(x\right) & \iff & x = \cos\left(y\right) & \mbox{ om }\, & 0 \le y \le \pi\\ y = \arctan\left(x\right) & \iff & x = \tan\left(y\right) & \mbox{ om }\, & -\frac{\pi}{ 2} < y < \frac{\pi}{ 2}\\ y = \arccsc\left(x\right) & \iff & x = \csc\left(y\right) & \mbox{ om }\, & -\frac{\pi}{ 2} \le y \le \frac{\pi}{ 2} \, , y \neq 0\\ y = \arcsec\left(x\right) & \iff & x = \sec\left(y\right) & \mbox{ om }\, & 0 \le y \le \pi \, , y \neq \frac{\pi}{ 2}\\ y = \arccot\left(x\right) & \iff & x = \cot\left(y\right) & \mbox{ om }\, & 0 < y < \pi \end{matrix}$

De inversa funktionerna motsvarar integralerna

$\arcsin\left(x\right) = \int^x_0 \frac 1 {\sqrt{1 - t^2}}dt$

$\arccos\left(x\right) = \int^x_1 \frac {-1} {\sqrt{1 - t^2}} dt$

$\arctan\left(x\right) = \int^x_0 \frac 1 {1 + t^2} dt$

$\arccsc\left(x\right) = \int \frac {-1} {x \sqrt{x^2 - 1} } dx$

$\,\arcsec\left(x\right) = \int \frac 1 {x \sqrt{x^2 - 1}} dx$

$\arccot\left(x\right) = \int \frac {-1} {x^2 + 1} dx$

Komplexa grafer

• 

  Komplex graf av sinusfunktionen

• 

  Komplex graf av cosinusfunktionen

• 

  Komplex graf av tangensfunktionen

• 

  Komplex graf av cotangensfunktionen

• 

  Komplex graf av sekantfunktionen

• 

  Komplex graf av cosekantfunktionen

Egenskaper och tillämpningar

Trigonometriska funktioner är, som benämningen antyder, av betydelse inom trigonometri, bland annat genom följande satser:

• Sinussatsen
• Cosinussatsen
• Tangenssatsen
• Areasatsen

Grafen till höger visar i ett polärt koordinatsystem funktionen

$(x(\theta),\,y(\theta)) = \sum_{n=1}^\infty \frac {1}{F(n+1)} (\sin(\theta\cdot F(n)),\, \cos(\theta\cdot F(n)))\$

där $F(n)$ är det n:te Fibonaccitalet.

Se även

• Eulers formler
• Wiktionary har ett uppslag om sinus.
  Ordbok
• Wiktionary har ett uppslag om cosinus.
  Ordbok
• Wiktionary har ett uppslag om tangens.
  Ordbok

Externa länkar

• GonioLab: Visualisering av enhetscirkeln, trigonometriska och hyperboliska funktioner (Java Web Start)