Herons formel

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Triangel-beteckningar.svg

Herons formel anger sambandet mellan en godtycklig triangels area och dess sidor a, b, c samt semiperimetern (halva omkretsen) s enligt

\ Area=\sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}

där alltså

\ s = \frac{1}{2}\left(a+b+c\right)

Formelns namn kommer från den grekiske matematikern Heron, men formeln upptäcktes troligen inte av honom, utan av Arkimedes.

Herons formel för trianglar är ett specialfall av en mer generell identitet för cykliska fyrhörningar. Genom att nyttja Herons formel och den aritmetiska-geometriska olikheten kan man bevisa den isoperimetriska egenskapen för liksidiga trianglar.

Bevis[redigera | redigera wikitext]

Låt a, b, c vara sidorna i en triangel och låt \gamma vara motstående vinkel till sidan c. Enligt cosinussatsen gäller

\cos \gamma = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}

Detta ger

\sin \gamma = \sqrt{1-\cos^2 \gamma} = \frac{\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2 }}{2ab}

Triangelns höjd mot basen a har längden b\sin(\gamma) varav följer


\begin{align}
Area & = \frac{1}{2} (\mbox{basen}) (\mbox{höjden}) \\
& = \frac{1}{2} ab\sin \gamma \\
& = \frac{1}{4}\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2} \\
& = \frac{1}{4}\sqrt{(2a b -(a^2 +b^2 -c^2))(2a b +(a^2 +b^2 -c^2))} \\
& = \frac{1}{4}\sqrt{(c^2 -(a -b)^2)((a +b)^2 -c^2)} \\
& = \frac{1}{4}\sqrt{(c -(a -b))(c +(a -b))((a +b) -c)((a +b) +c)} \\
& = \sqrt{\frac{(c -(a -b))(c +(a -b))((a +b) -c)((a +b) +c)}{16}} \\
& = \sqrt{\frac{(c -(a -b))}{2}\frac{(c +(a -b))}{2}\frac{((a +b) -c)}{2}\frac{((a +b) +c)}{2}} \\
& = \sqrt{\frac{(b + c - a)}{2}\frac{(a + c - b)}{2}\frac{(a + b - c)}{2}\frac{(a + b + c)}{2}} \\
& = \sqrt{\frac{(a + b + c)}{2}\frac{(b + c - a)}{2}\frac{(a + c - b)}{2}\frac{(a + b - c)}{2}} \\
& = \sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}.
\end{align}

Se även[redigera | redigera wikitext]