Kurvintegral

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

En kurvintegral, eller linjeintegral, kallas inom matematiken en integral där funktionen som skall integreras evalueras längs en kurva. Ett flertal olika kurvintegraler används. Om kurvan är sluten kallas integralen även för konturintegral.

Vektoranalys[redigera | redigera wikitext]

En kurvintegral inom vektoranalysen är en integral av ett skalär- eller vektorfält längs en kurva C. Om kurvan kan parametriseras med en funktion \mathbf{r}(t)\,, a \le t \le b så kan kurvintegralen definieras genom


\int_{C}\phi \, ds = \int_a^b\phi(\mathbf{r}(t))|\mathbf{r}'(t)|dt

respektive


\int_{C}\mathbf{A} \cdot \mathbf{dr} =
\int_a^b\mathbf{A}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t)dt

där högerleden är envariabelintegraler.

Om kurvan C är sluten så kallas kurvintegralen för en cirkulationsintegral och betecknas


\oint_C \mathbf{A} \cdot \mathbf{dr}

Stokes sats visar ett samband mellan sådana cirkulationsintegraler och ytintegraler.

Komplex analys[redigera | redigera wikitext]

Kurvintegralen är ett fundamentalt redskap inom komplex analys. Antag att U är en öppen delmängd av C, γ : [a, b] → U är en kurva av ändlig längd och f : UC är en funktion. Man kan då definiera kurvintegralen

\int_\gamma f(z)\,dz

genom att dela in intervallet [a, b] i a = t0 < t1 < ... < tn = b och undersöka uttrycket

\sum_{1 \le k \le n} f\left( \;\gamma(t_k)\;\right) \left[ \; \gamma(t_k) - \gamma(t_{k-1}) \; \right]

Integralen är då gränsvärdet då avstånden mellan indelningspunkterna går mot noll.

Om γ är en kontinuerligt differentierbar kurva så kan kurvintegralen beräknas som en integral av en funktion av en reell variabel:

\int_\gamma f(z)\,dz
=\int_a^b f(\gamma(t))\,\gamma\,'(t)\,dt

När γ är en sluten kurva, dvs, dess start- och slutpunkter sammanfaller, används ofta notationen

\oint_\gamma f(z)\,dz

för kurvintegralen av f längs γ.

Viktiga utsagor om kurvintegraler ges av Cauchys integralsats och Cauchys integralformel.

Kvantmekanik[redigera | redigera wikitext]

Den amerikanske fysikern Richard Feynman presenterade i sin doktorsavhandling en alternativ formulering av kvantmekaniken baserad på s.k. vägintegraler. Detta kom att kallas vägintegralformuleringen av kvantmekaniken eller funktionalformuleringen av kvantmekaniken.

Idén bygger på resultatet av det s.k. dubbelspaltsexperimentet vilket Feynman generaliserar till att sätta fler väggar mellan partikelkällan och målet. Feynman gjorde tankeexperimentet att sätta dit oändligt många väggar och sedan göra dess helt fyllda av hål. Då har vi alltså nu bara strålkällan och målet kvar, men partiklarna ska ta alla vägar mellan strålkällan och målet.

Resultatet av resonemanget blir att man får en kvantmekanisk version av den s.k. verkansprincipen inom klassisk mekanik Funktionalformuleringen säger att partikeln tar vägen för vilken följande integral är stationär:

\int_{x_1}^{x_2} d[x(t)] e^{i\frac{1}{\hbar} S(x, \dot x)}
med
S = \int_{t_1}^{t_2}dt L_{klassisk}(x, \dot x)