Kvotgrupp

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

En kvotgrupp är inom matematik, specifikt gruppteori, en grupp som bildas utifrån en större grupp med hjälp av en ekvivalensrelation, som i sin tur definieras med hjälp av en normal delgrupp. Ekvivalensrelationen definierar ekvivalensklasser som partitionerar den ursprungliga mängden. Partitionerna bildar då en grupp i sig själva.

I kategoriteori är kvotgrupper exempel på kvotobjekt. Exempel på andra kvotobjekt är kvotringar, kvotrum och kvotmängder.

Definition[redigera | redigera wikitext]

Givet en grupp G kan man definiera multiplikation av delmängder till G genom:

 XY = \{xy: x \in X, y \in Y\}.

Om N är en normal delgrupp till G kan man bilda mängderna av sidoklasser till N. Eftersom N är normal kommer vänstersidoklasserna och högersidoklasserna vara samma. Dessa sidoklasser bildar en grupp under multiplikation av delmängder. Mer noggrant, låt aN och bN vara sidoklasser till N. Då gäller att:

aNbN = a \cdot 1 N b N = abb^{-1}NbN = \mbox{(N normal)} = a(bNb^{-1})bN = abNb^{-1}bN = abNN = abN\,

så att produkten av två sidoklasser är återigen en sidoklass. Det neutrala elementet i kvotgruppen är sidoklassen 1 \cdot N och det inversa elementet till aN är a^{-1}N.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Lösningarna till z^{12}=1 och sidoklasser.
  • Gruppen av heltal under addition, Z, är en abelsk grupp, så varje delgrupp är normal. Ta delgruppen av jämna heltal, 2Z och bilda kvotgruppen Z/2Z. Det finns två sidoklasser till 2Z i Z: mängden av jämna heltal och mängden av udda heltal, så kvotgruppen Z/2Z är den cykliska gruppen med två element, isomorf med gruppen bestående av \{0,1\} med operationen addition modulo 2.
  • Den multiplikativa abelska gruppen bestående av alla lösningar till ekvationen z^{12} = 1 består av punkter på enhetscirkeln i det komplexa planet. En normal delgrupp är alla lösningar till ekvationen z^4 = 1, markerade med röda prickar i bilden till höger, som partitionerar gruppen i tre sidoklasser. Kvotgruppen blir den cykliska gruppen med tre element.
  • Gruppen av reella tal under addition, R, med delgruppen av heltal Z, bildar kvotgruppen R/Z bestående av element r + Z där 0 \leq r < 1 som är isomorf med cirkelgruppen S^1 bestående av alla komplexa tal med absolutbelopp 1. En isomorfi ges av
\phi(r + \Z) = e^{2\pi i r}

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Kvotgruppen G/G är isomorf med den triviala gruppen, gruppen med ett element, och G/{e}, där e är det neutrala element i G, är isomorf med G.

Ordningen av kvotgruppen G/N är detsamma som indexet för N.

Det finns en surjektiv grupphomomorfi \pi: G \to G/N definierad av \pi (g) = gN. \pi kallas den kanoniska projektionen av GG/N. kärnan av \pi är N.

Om G är abelsk, lösbar, nilpotent eller cyklisk så har även G/N den egenskapen.

Referenser[redigera | redigera wikitext]

  • Svensson, Per-Anders (2001). Abstrakt Algebra. Studentlitteratur. ISBN 91-44-01262-4 
  • Rotman, Joseph (1995). An Introduction to the Theory of Groups. Springer Verlag. ISBN 3-540-94285-8