Nollrum

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Nollrummet eller kärnan till en linjär avbildning F:\mathbb{U} \rightarrow \mathbb{V} (där  \mathbb{U} och  \mathbb{V} är två vektorrum) definieras som:

N(F)=\{\bar{u} \in \mathbb{U} : F(\bar{u})=\bar{0} \}

Det vill säga mängden av alla vektorer i  \mathbb{U} som avbildas på nollvektorn, alltså "som blir 0". Att nollrummet gör skäl för sitt namn och inte bara är en delmängd utan även ett underrum till  \mathbb{U} visas med hjälp av definitionen av en linjär avbildning, ty om  \bar{u}, \bar{w} \in N(F) och  \alpha \in \mathbb{R} så gäller:

  1.  F(\bar{u} + \bar{w}) = F(\bar{u}) + F(\bar{w}) = \bar{0} \Rightarrow \bar{u} + \bar{w} \in N(F)
  2.  F(\alpha \bar{u}) = \alpha F(\bar{u}) = \alpha \bar{0} = \bar{0} \Rightarrow \alpha \bar{u} \in N(F)

Vilket är ekvivalent med att  N(F) är ett underrum av  \mathbb{U} .


Tolkning[redigera | redigera wikitext]

Om nollrummet består av åtminstone någon nollskild vektor, det vill säga om  N(F)\not = \{0\} , och avbildningen  F kan skrivas med matrisen  A följer att:

  •  Ax = 0 har icke-triviala lösningar.
  •  A(x + z) = Ax + Az = Ax , om  z \in N(F).

Det vill säga att om du har funnit en lösning  x till ekvationen  y = Ax så är även  x + z en lösning, en lösningsstruktur som bekant återfinns även då man löser linjära differentialekvationer. Det innebär också att det finns en inbyggd osäkerhet i det system som beskrivs av ekvationen  y = Ax . Om  A är någon slags transform som verkar på en insignal  x och ger en utsignal  y så kan du, givet enbart utsignalen  y , inte veta om insignalen i det här fallet var  x eller  x + z .

Att  z hör till nollrummet behöver dock inte betyda att den inte har någon som helst effekt på systemet. Tänk dig att  y = Ax nu beskriver en kloss som vi applicerar olika stora krafter på under en viss tid.  y står för klossens position och hastighet vid sluttidpunkten,  x innehåller de olika krafter som vi vill applicera och  A beskriver vilken effekt respektive kraft har på klossens slutposition och sluthastighet. Att  Az = 0 innebär i det här fallet inte nödvändigtvis att klossen står still under hela tidsperioden, utan den kan röra sig fram och tillbaka i princip hur som helst så länge den står still i sin ursprungsposition väl vid sluttidpunkten.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

  • Bestäm  N(F) om  F är en ortogonalprojektion i ett plan.

Lösning: Vid en ortogonalprojektion projiceras varje vektor ner i planet, alltså att man från en given vektor enbart erhåller den komposant som är parallell med planet.  N(F) består således av de vektorer som helt saknar en komposant parallell med planet, det vill säga som är ortogonala mot planet. Således består  N(F) av alla vektorer längs planets normallinje.

  • Bestäm en bas till  N(F) om  F:  \mathbb{R} 4   \rightarrow  \mathbb{R} 4 ges av matrisen  A :

 \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 & -4 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & -2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}


Lösning:  N(F) består av alla de vektorer  X för vilka  AX = 0 , en ekvation som vi tecknar och sedan löser med stegvis gausselimination:

\left[\begin{array}{rrrr|r}
2 & 1 & -1 & -4 & 0\\
0 & 1 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & -2 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & -2 & 0
\end{array}\right]\to
\left[\begin{array}{rrrr|r}
0 & 1 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & -1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & -2 & 0
\end{array}\right]\to
\left[\begin{array}{rrrr|r}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & -1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & -2 & 0
\end{array}\right] 
\Leftrightarrow \begin{alignat}{7}
x_2 &&\; = \;&& x_3 \\
x_1 &&\; = \;&& 2x_4
\end{alignat}

 x_3 = t , x_4 = s \Rightarrow x_2 = t , x_1 = 2s \Rightarrow X = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = s \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = s \bar{v} + t \bar{u} där vektorerna  \bar{v} och  \bar{u} alltså spänner upp  N(F) och således utgör en bas för nollrummet.

Se även[redigera | redigera wikitext]

Referenser[redigera | redigera wikitext]

  • Janfalk, Ulf, Linjär Algebra, 2013, Matematiska institutionen, Linköpings Universitet