Nolldelare

Om R är en kommutativ ring, så är ett element a ≠ 0 i R en nolldelare, om det finns ett element b ≠ 0 i R, sådant att a·b = 0.

Om en kommutativ ring saknar nolldelare, så kallas den för ett integritetsområde. I en ring, som inte är kommutativ skiljer man på vänsternolldelare och högernolldelare.

Exempel

Heltalen Z, de reella talen R och de komplexa talen C saknar nolldelare.

Matrisen $\left(\begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0\end{smallmatrix}\right)$ i matrisringen av 2×2-matriser med reella element är en nolldelare, eftersom

$\left(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0\end{matrix}\right)\,\left(\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 1\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0\end{matrix}\right)$.

Produkten av två kvadratiska matriser kan således bli lika med nollmatrisen, trots att ingen av dessa är nollmatrisen. I denna ring är nolldelarna de matriser vars determinant är lika med noll.

Egenskaper

En nolldelare är inte inverterbar, för om $ax = 0$ följer det att:

$0 = a^{-1}0 = a^{-1}ax = x$

Alla idempotenta element $a \neq 1$ är nolldelare, för om $a^2 = a$ följer det att $a(a-1) = (a-1)a = 0$.

Alla nilpotenta element är nolldelare, för om $a^n = 0$ följer det att $aa^{n-1} = a^{n-1}a = 0$.

Ringen av kongruensklasser modulo n, $\mathbb{Z}_n$, har nolldelare om och endast om n är ett sammansatt tal.

Källor

• I.N. Herstein, Topics in Algebra, Blaisdell, New York 1964.
• B.L. van der Waerden, Algebra Erster Teil, Springer-Verlag, Berlin 1950.
• Oscar Zariski, Pierre Samuel, Commutative Algebra, Volume 1, D. van Nostrand Company, Princeton New Jersey 1958.

Se även

• Kancelleringslagen