Division med noll

Från Wikipedia

Division med noll innebär inom matematiken att man dividerar ett tal med noll, det vill säga att man har noll i nämnaren. Det kan skrivas , där x är täljaren och noll nämnaren. Division med noll är inte definierat för de reella talen inom matematiken.

Innehåll 1 Historia 2 Tolkning inom vanligt räknande 3 Algebraisk tolkning 3.1 Exempel: Felaktigheter som kan uppstå vid division med noll 4 Inom analysen 5 Riemannsfären 6 Se även 7 Källor

[redigera] Historia

De tidigaste kända exemplen på matematiker som gett sig an problemet att dividera med noll är Brahmagupta som år 628 gav ut Brahmasphutasiddhanta. Han misslyckades med att beskriva division med noll då han kom fram till bland annat att noll delat på noll är noll.

År 830 så misslyckades även Mahavira med att komma fram till något givande svar på hur man ska tänka på division med noll, då han kom fram till att ett tal dividerat med noll återstår oförändrat.

Bhaskara II misslyckades även han då han tolkade division med noll som

Det är dock den bästa av tolkningar av de historiska exemplen som tagits upp, men det kan leda till motsägelser vilket tas upp nedan.^[1]

[redigera] Tolkning inom vanligt räknande

När man ska förstå division inom vanlig aritmetik så brukar man tänka sig att man delar upp en sak i flera bitar.

[redigera] Algebraisk tolkning

Rådande konsensus om hur man ska tolka division med noll mellan matematiker är att man först definierar vad division är i förhållande till andra kända räknemetoder. Anledningen till att man då säger att division med noll är odefinierat är för att man brukar se division som inverterad multiplikation.

Det vill säga att så är a=bc så länge som b0. Då b=0 kan man skriva om ekvationen som då blir a=0c, 0 gånger vilket nummer som helst är alltid 0. Då blir a alltid lika med 0, alla värden på a0 blir då omöjliga. Om a=0 så uppkommer ändå ett annat problem, vilket leder till att 0=0c vilket är sant för alla möjliga värden på c. Det är därför meningslöst att dela med noll.

[redigera] Exempel: Felaktigheter som kan uppstå vid division med noll

Det finns många exempel på vad division med noll kan leda till för felaktigheter, ett av dem följer här under.

(1) a = b

(2) a² = ab

(3) a² − b² = ab − b²

(4) (a + b)(a − b) = b(a − b)

(5) a + b = b

(6) 2b = b

(7) 2 = 1

Felet som uppkommer i detta exempel är att man i steg fyra dividerar med 0, då a-b=0.

[redigera] Inom analysen

Om man analytiskt försöker resonera sig till hur man skulle kunna definiera divsion med 0 faller det sig naturligt att göra det med hjälp av ett gränsvärde. Man studerar då division med mycket små, men dock nollskilda, tal.

För a > 0 gäller:

och för a < 0:

Säger man att så har man alltså valt att låta närma sig 0 från den positiva sidan av tallinjen. Eftersom man lika gärna skulle ha kunnat närma sig 0 från den negativa sidan och fått , ser vi att valet av definition är godtycklig, och därför utifrån en matematikers synsätt ottillräcklig. Räkningen nedan illustrerar exemplet

Vi har alltså visat att , vilket motsäger en grundläggande egenskap hos de reella talen, vilken ofta utnyttjas vid räkning, nämligen att om och , så följer a = b. Eftersom detta är en sådan grundläggande och viktig egenskap hos de reella talen vill man inte införa en definition som bryter mot den om man inte har en riktigt god anledning. Eftersom ingen sådan föreligger, förblir uttrycket odefinierat.

[redigera] Riemannsfären

Det finns områden inom matematiken då division med noll är definierat. Då kallas för Riemannsfären som är av stor betydelse inom komplex analys. I Riemannsfären är ett delat med noll lika med komplex oändlighet. Dock så är inte det omvändbart så att noll gånger komplex oändlighet är definierat.

[redigera] Se även

• Talet noll
• Siffran noll
• Division

[redigera] Källor

1. ^ Zero