Pentagon

För andra betydelser, se Pentagon (olika betydelser).

En regelbunden pentagon.

Pentagon, femhörning, är en polygon med fem hörn. Ofta menas en regelbunden konvex pentagon som är en femhörning som är liksidig och likvinklig, d.v.s. där alla sidor respektive vinklar är lika stora. De interna vinklarna i en enkel pentagon är totalt 540°.

Regelbundna konvexa pentagoner

I en regelbunden pentagon är alla inre vinklar 108° och arean ges av:

$A = a^2 \frac{5 \tan 54^\circ}{4} = a^2 \frac{\sqrt{25 + 10 \sqrt 5}}{4} \approx 1,7204774a^2$

där a är sidlängden.

Diagonalerna kan räknas ut med hjälp av gyllene snittet, φ, och en känd sida T:

$\frac {D}{T} = \varphi = \frac {1+ \sqrt {5} }{2}\,$

Diagonalen blir således

$D = T \times \varphi\,$

Konstruktion

Pentagoner kan konstrueras med passare och rätskiva, något som beskrevs av Euklides i Elementa.

En metod är den följande:

1. Rita en cirkel med mittpunkten O.
2. Välj en punkt A på cirkeln som kommer att vara ett av pentagonens hörn. Dra en linje som går genom O och A.
3. Konstruera en linje som går genom O och som är vinkelrät mot linjen genom O och A. Välj en av punkterna där den nya linjen går genom cirkeln och markera denna punkt som B.
4. Konstruera punkten C som är mittpunkten mellan B och O.
5. Rita en cirkel med mittpunkt i C som går genom A. Markera med D den punkt innanför den ursprungliga cirkeln där den nya cirkeln och linjen OB möts.
6. Rita en cirkel med mittpunkt i A som går genom D. Markera skärningarna mellan denna cirkel och cirkeln från första steget som punkterna E och F.
7. Rita en cirkel med mittpunkt i E som går genom A. Skärningen mellan denna cirkel och den ursprungliga cirkeln är G.
8. Rita en cirkel med mittpunkt i F som går genom A. Skärningen mellan denna cirkel och den ursprungliga cirkeln är H.
9. AEGHF är en pentagon.

Bevis:

Sätt $r = AO$ och $a = AC$.

Enligt Pythagoras sats är då

$a^2 = r^2 + \frac{r^2}{4}$ vilket medför att $a = \frac{\sqrt{5}r}{2}$

Sätt $\alpha = \wedge ACO$ och $\beta = \wedge AOF$. Då är

$\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}$

Sätt slutligen $d = AD$ (vilket också innebär att $AE = d$ och $AF = d$, eftersom alla radier i en cirkel är lika långa).

Ur ovanstående följer enligt cosinussatsen att

$d^2 = a^2 + a^2-2a\,a\cos\alpha = \frac{5r^2}{2} - \frac{5r^2}{2}\frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}r^2}{2}\left(\sqrt{5} - 1\right)$

Enligt cosinussatsen är då

$\cos\beta = \frac{2r^2 - \frac{\sqrt{5}}{2}r^2\left(\sqrt{5} - 1\right)}{2r^2} = 1 - \frac{\sqrt{5}}{4}\left(\sqrt{5} - 1\right) = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}$.

Detta medför att

(*) $\ \beta = 72^\circ = \frac{360^\circ}{5}$

vilket visar att verkligen alla vinklar mot O av sidorna i AEGHF är lika stora, vilket medför att pentagonen verkligen är regelbunden.

Nyckelresultatet (*) kan exempelvis visas på följande sätt: vilket innebär att

$\beta = \frac{360^\circ}{5}$

Enligt identiterna för de trigonometriska funktionerna är

$\cos 18^\circ = \sin 72^\circ$.

Efter upprepad användning av trigonometriska funktioner för dubbla vinkeln är

$\sin 72^\circ = 2\sin36^\circ\cos36^\circ = 2\cdot2\sin18^\circ\cos18^\circ\left(1 - 2\sin^2 18^\circ\right)$.

Ur likheten

$\cos 18^\circ = 2\cdot2\sin18^\circ\cos18^\circ\left(1 - 2\sin^2 18^\circ\right)$

erhålls genom att sätta

$x = \sin18^\circ$

ekvationen

$1 = 4x\left(1 - 2x^2\right)$

vilken har lösningarna

$x_1 = -\frac{\sqrt{5} + 1}{4},\quad x_2 = \frac{\sqrt{5} - 1}{4},\quad x_3 = \frac{1}{2}$

varav $x_1$ och $x_3$ förkastas.

Alltså är

$\sin 18^\circ = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}$

och enligt identiterna för de trigonometriska funktionerna är därför

$\cos 72^\circ = \sin 18^\circ = \cos \beta$

och alltså gäller verkligen att Β är precis $72^\circ$, vilket är (*), det som behövde visas.

Pentagoner i naturen

• 

  Pentagonal genomskärning av okra.

• 

  Blomman för dagen har, liksom många andra blommor, ett pentagonalt utseende.

• 

  Sjöstjärna.

• 

  Ormstjärna.

Se även

• Pentagram