Platonska kroppar

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Platonska kroppar är konvexa tredimensionella geometriska kroppar (polyedrar) med likformiga polygoner som sidor. I varje hörn möts lika många sidor. Euklides bevisade att det bara finns fem stycken sådana kroppar.

Inom alkemin antogs dessa kroppar motsvara de klassiska elementen.

Kropp Sidor Antal hörn Antal kanter Roterande bild Ihopfällande bild
Tetraeder 4 liksidiga trianglar 4 6 Tetrahedron.gif Platonic Solids Stereo 1 - Tetrahedron.gif
Kub (hexaeder) 6 liksidiga kvadrater 8 12 Hexahedron.gif Platonic Solids Stereo 2 - Cube.gif
Oktaeder 8 liksidiga trianglar 6 12 Octahedron.gif Platonic Solids Stereo 3 - Octahedron.gif
Dodekaeder 12 regelbundna pentagoner 20 30 Dodecahedron.gif Platonic Solids Stereo 4 - Dodecahedron.gif
Ikosaeder 20 liksidiga trianglar 12 30 Icosahedron.gif Platonic Solids Stereo 5 - Icosahedron.gif

Om man frångår kravet att varje hörn ska ha samma talighet samt på konvexitet, det vill säga tillåter att kroppen även har inbuktningar, stiger antalet möjliga kroppar till det oändliga, även om sidoytorna ska vara liksidiga och likadana. Till exempel kan man ersätta varje yta i ikosaedern med en tetraeder och få en taggig stjärnform med 60 sidor med omväxlande tretaliga och femtaliga hörn. Men då är det inte längre fråga om platonska kroppar.

BluePlatonicDice.jpg

Klassificering[redigera | redigera wikitext]

Att det bara finns fem platonska kroppar är ett klassiskt resultat vilket bevisades redan av Euklides i hans Elementa.

Att antalet är fem kan även bevisas med Eulers formel, som säger att om V är antal hörn, E antal kanter och F antal sidor på en konvex polyeder, gäller V - E + F = 2. Låt p vara antalet kanter på varje sida (vilken polygon polyedern består av) och q antalet sidor som möts i varje hörn. Då har man att pF = 2E = qV eftersom varje kant gränsar till två sidor och två hörn. Om detta sätts in i Eulers formel får man:

\frac{2E}{q} - E + \frac{2E}{p} = 2

Algebraisk manipulation ger:

\frac{1}{q} + \frac{1}{p} = \frac{1}{2} + \frac{1}{E} > \frac{1}{2}

där den sista olikheten kommer av att E måste vara positiv. Eftersom p och q måste vara positiva och större än eller lika med 3 kan man se att det bara finns 5 kombinationer av värden på p och q som gör att uttrycket längst till vänster är strikt större än 1/2, nämligen (3, 3) (tetraeder) , (4, 3) (kub), (3, 4) (oktaeder), (5, 3) (dodekaeder) och (3, 5) (ikosaeder).