Klot

För tyget klot, se Klot (textil).

Ett rutigt blått klot

Ett klot är en tredimensionell solid kropp vars begränsningsyta är en sfär.

Klotets volym kan beräknas med formeln

$V={4\pi r^3\over 3}$

där r är klotets radie.

En cylinder som omsluter ett klot har en volym som är 3/2 gånger klotets, vilket (tillsammans med formlerna för sfärens yta och klotets volym) redan Arkimedes kände till.

Härledning av volymformeln

En halvcirkel med radie r och centrum i origo motsvarar följande funktion (se Pythagoras sats):

$f(x)=\sqrt{r^2-x^2}, x \in [-r, r]$

Motsvarande rotationskropp har då denna volym:

$\int_{-r}^{r}\pi(r^2-x^2) dx$

Vi börjar med att separera termerna:

$\int_{-r}^{r}\pi r^2-\pi x^2 dx$

Dessa kan sedan integreras separat:

$\int_{-r}^{r}\pi r^2 dx - \int_{-r}^{r}\pi x^2 dx$

Motsvarande primitiva funktioner är triviala:

$\pi r^2\left[ x \right]_{-r}^{r} - \pi \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-r}^{r}$

Insättning av r och −r ger:

$\pi (r^3-(-r^3)) - \pi (\frac{r^3}{3} - (-\frac{r^3}{3}))$

Förenkling, steg 1:

$2 \pi r^3 - 2\pi \frac{r^3}{3}$

Förenkling, steg 2:

$\frac{6}{3} \pi r^3 - \frac {2}{3} \pi r^3$

Och det hela ger resultatet:

$\frac{4}{3} \pi r^3$

Klot i analytisk geometri

I analytisk geometri beskrivs klotet, placerat i ett kartesiskt koordinatsystem med ekvationen

$(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 \le r^2$

där (a, b, c) är klotets medelpunkt och r är dess radie.