Klot

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
För tyget klot, se Klot (textil).
Klot

Ett klot är en tredimensionell solid kropp vars begränsningsyta är en sfär.

Klotets volym kan beräknas med formeln

V={4\pi r^3\over 3}

där r är klotets radie.

En cylinder som omsluter ett klot har en volym som är 3/2 gånger klotets, vilket (tillsammans med formlerna för sfärens yta och klotets volym) redan Arkimedes kände till.

Härledning av volymformeln[redigera | redigera wikitext]

En halvcirkel med radien r och centrum i origo motsvarar funktionen (se Pythagoras sats)

 f(x)=\sqrt{r^2-x^2}, x \in [-r, r]

Motsvarande rotationskropp har volymen

\int_{-r}^{r}\pi(r^2-x^2) dx

Termerna separeras

\int_{-r}^{r}\pi r^2 dx - \int_{-r}^{r}\pi x^2 dx

och de primitiva funktionerna blir

\pi r^2\left[ x \right]_{-r}^{r} - \pi \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-r}^{r}

Insättning av r och −r ger

\pi (r^3-(-r^3)) - \pi (\frac{r^3}{3} - (-\frac{r^3}{3})) = \frac{4}{3} \pi r^3

Klot i analytisk geometri[redigera | redigera wikitext]

Inom analytisk geometri beskrivs klotet i ett kartesiskt koordinatsystem med ekvationen

(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 \le r^2

där (a, b, c) är klotets medelpunkt och r är dess radie.