Primtalstvilling

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Två primtal är primtalstvillingar om differensen mellan dem är 2. Talen 2 och 3 är sålunda inte primtalstvillingar eftersom skillnaden mellan dem är 1 vilket är den minsta möjliga skillnaden mellan två primtal. De lägsta primtalstvillingarna är därför talen 3 och 5. Talen 3, 5 och 7 kan också kallas för primtalstrillingar. Dessa är dock de enda primtalstrillingarna som finns. Primtalsfyrlingar, primtalsfemlingar, etc. finns inte.

Varje primtalstvilling som är större än 3 kan skrivas som (6n − 1, 6n + 1), för något naturligt tal n. Talet n måste dock sluta på 0, 2, 3, 5, 7 eller 8 och får ej vara 1.

Primtalstvillingarna mindre än 1000 är:

(35), (57), (1113), (1719), (2931), (4143), (5961), (7173), (101103), (107109), (137139), (149151), (179181), (191193), (197199), (227229), (239241), (269271), (281283), (311313), (347349), (419421), (431433), (461463), (521523), (569571), (599601), (617619), (641643), (659661), (809811), (821823), (827829), (857859), (881883), … (talföljd A077800 i OEIS)

Den 15 januari 2007 hittade Eric Vautier, (Frankrike), de hittills största primtalstvillingarna,  2003663613 \cdot 2^{195000}\pm 1. Talen har 58 711 siffror.

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Det har bevisats att talen (mm + 2) är primtalstvillingar om och bara om

4((m-1)! + 1) \equiv -m \pmod {m(m+2)}.

Bruns sats[redigera | redigera wikitext]

1915 bevisade Viggo Brun att summan av reciprokerna av primtalstvillingarna konvergerar mot en konstant, numera känd som Bruns konstant. Det här resultatet, känt som Bruns sats, var den första användningen av Bruns såll och var ett stort steg mot moderna metoder inom analytisk talteori. Den moderna versionen av Bruns argument kan användas till att visa att antalet primtalstvillingar mindre eller lika stora som N är inte större än

\frac{CN}{(\log N)^2}

för någon absolut konstant C > 0.

Se även[redigera | redigera wikitext]

Litteratur[redigera | redigera wikitext]

Externa länkar[redigera | redigera wikitext]