Kardinalitetmått

Ett kardinalitetmått eller räknemått är ett mått som mäter kardinaliteten för mängder. Kardinalitetmåttet används mestadels som ett enkelt exempel för mått men det också har tillämpningar i serieteori.

Definition

Låt $X\,$ vara en mängd. Kardinalitetmåttet för mängden är en funktion $\mu :{\mathcal {P}}(X)\rightarrow [0,\infty ]$, definierad som:

$\mu (A)=\left\{{\begin{matrix}{\mbox{card}}(A),&{\textrm {om}}\ A{\mbox{ är ändlig}}\\+\infty ,&{\textrm {om}}\ A{\mbox{ är oändlig}},\end{matrix}}\right.$

där card(A) är kardinaliteten för mängden A. Kardinalitetmåttet är ett mått.

Egenskaper

Det finns en koppling mellan kardinalitetmått och Diracmått: om $A\subset X\,$ så är

$\mu (A)=\sum _{x\in A}\delta _{x}(X).$

Kardinalitetmått är nolldimensionella Hausdorffmått:

$\mu ={\mathcal {H}}^{0}.$

Serieteori

Kardinalitetmåttet har tillämpningar i serieteori. Om $X\,$ är uppräknelig, d.v.s.

$X=\{x_{i}:i\in \mathbb {N} \}\,$,

är kardinalitetmåttets måttintegral en serie: om $f:X\rightarrow \mathbb {R} \,$ är

$\int _{X}\,f\,d\mu =\sum _{i=1}^{\infty }f(x_{i}).$

Alltså f är integrerbar om och endast om serien $\sum _{i=1}^{\infty }f(x_{i})$ är absolutkonvergent.

Detta innebär också att vi man kan bevisa Hölders olikhet och Minkowskis olikhet för serier med L^p-normens Hölders och Minkowskis olikheter som är till för integraler.

Referenser

• P. Halmos, Measure theory, D. van Nostrand and Co., 1950