Riemann-Stieltjes integral

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Riemann-Stieltjes integral, även kallad Stieltjesintegral, är inom matematisk analys en speciell integral, som kan ses som en generalisering av Riemannintegralen, uppkallad efter matematikern Thomas Joannes Stieltjes. Vid vanlig Riemannintegrering integrerar man med hänsyn till  x -axeln, men vid Riemann-Stieltjes-integrering integrerar man med hänsyn till en annan funktion.

Definition och existens[redigera | redigera wikitext]

Konstruktion av integralen[redigera | redigera wikitext]

Ett intervall av reella tal kallat  [a, b] kan delas in i flera delintervall med en partition,  P , som består av ändligt många punkter  x_0, x_1, ..., x_n sådana att

a = x_0 \leq x_1 \leq x_2 \leq ... \leq x_{n-1} \leq x_n = b .

För två begränsade funktioner på intervallet,  f(x) och  \alpha(x) inför vi differensoperatorn:

 \Delta \alpha_k = \alpha(x_k) - \alpha(x_{k-1})\,.

 f(x) är begränsad på  [a,b] kan vi hitta ett supremum respektive infimum för funktionsvärdena på dessa intervall och inför beteckningarna:

 M_k = \sup f(x) ~~~ (x_{k-1} \leq x \leq x_k)
 m_k = \inf f(x) ~~~~ (x_{k-1} \leq x \leq x_k)

Vi får nu två summor, beroende på partitionen  P och funktionerna  f samt  \alpha :

 U(P, f, \alpha) = \sum_{k=1}^n M_k \Delta \alpha_k
 L(P, f, \alpha) = \sum_{k=1}^n m_k \Delta \alpha_k

 U(P, f, \alpha) \geq L(P, f, \alpha) (då  M_i \geq m_i).

Låt vidare  \mathcal{P} vara mängden av alla partitioner av  [a, b] och om

\inf_{P \in \mathcal{P}} U(P, f, \alpha) = \sup_{P \in \mathcal{P}} L(P, f, \alpha)

säger man att integralen existerar, vilket betecknas med  f \in \mathfrak{R}(\alpha) , och betecknar värdet med:

 \int_a^b f \, d\alpha eller  \int_a^b f(x) \, d\alpha(x).

Om man väljer  \alpha(x) = x fås den vanliga Riemannintegralen.

Existens med epsilon[redigera | redigera wikitext]

 f \in \mathfrak{R}(\alpha) om och endast om det för varje  \epsilon > 0 existerar en partition  P så att

 U(P, f, \alpha) - L(P, f \alpha) < \epsilon \,.

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

För strängt ökande \alpha och  f, f_1, f_2 \in \mathfrak{R}(\alpha) och  c \in \mathbb{R} har integralen följande egenskaper:

  • f_1 + f_2 \in \mathfrak{R}(\alpha) och  \int_a^b(f_1+f_2) \, d\alpha =\int_a^b f_1 \, d\alpha +\int_a^b f_2 \, d\alpha .
  • cf \in \mathfrak{R}(\alpha) och  \int_a^b cf \, d\alpha = c\int_a^b f \, d\alpha.
  • Om  f_1 \leq f_2 \int_a^b f_1 \, d\alpha \leq \int_a^b f_2 \, d\alpha .
  • Om  a < c < b  \int_a^c f \, d\alpha + \int_c^b f \, d\alpha = \int_a^b f \, d\alpha

Om  \alpha_1 och  \alpha_2 är strängt ökande och  f \in \mathfrak{R}(\alpha_1) och  f \in \mathfrak{R}(\alpha_2) och  c \in \mathbb{R} så:

  •  \int_a^b f \,d(\alpha_1 + \alpha_2) = \int_a^b f \,d\alpha_1 + \int_a^b f \,d\alpha_2.
  •  \int_a^b f \,d(c\alpha) = c\int_a^b f \,d\alpha

Om  f även är kontinuerlig på hela [a, b] existerar det även  c \in [a, b] så att:

\int_a^b f d \alpha = f(c)(\alpha(b) - \alpha(a))

vilket kallas medelvärdesegenskapen.

Om  \alpha är strängt ökande och kontinuerlig deriverbar på  [a, b] och f \in \mathfrak{R}(\alpha) så är

 \int_a^b f \, d\alpha = \int_a^b f(x)\alpha'(x) \, d x.

Tillämpningar[redigera | redigera wikitext]

Riemann-Stieltjes integral kan användas till att räkna ut väntevärdet för en kumulativ fördelningsfunktion med diskret fördelning.