Analytisk geometri

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Torus.png

Den analytiska geometrin är en gren av geometrin där algebraiska metoder från främst linjär algebra används för att lösa geometriska problem.

Metoder från analytisk geometri används inom alla tillämpade vetenskaper, men särskilt inom fysiken, till exempel för beskrivningen av planeternas banor. Ursprungligen behandlade analytisk geometri endast frågor rörande planet och den rumsliga (euklidiska) geometrin. Mera allmänt beskriver den analytiska geometrin affina rum av godtyckliga dimensioner över godtyckliga kroppar.

Koordinatsystem[redigera | redigera wikitext]

Koordinatsystemet är kartesiskt om axlarna är inbördes vinkelräta mot varandra

Grundläggande för analytisk geometri är begagnandet av ett koordinatsystem. Vanligen används ett kartesiskt koordinatsystem.

Analytisk geometri i R2[redigera | redigera wikitext]

Koordinatsystem och transformationer[redigera | redigera wikitext]

Med (x, y) betecknas de ursprungliga koordinaterna och med (x', y') de nya.

Parallellförskjutning[redigera | redigera wikitext]

Om x0, y0 är koordinaterna för origo i det nya systemet, så gäller:

Rotation[redigera | redigera wikitext]

Om rotationsvinkeln räknas positiv (den vinkel som positiva x-axeln behöver vridas för att sammanfalla med positiva y-axeln) blir transformationsformlerna

Avståndet mellan två punkter[redigera | redigera wikitext]

Avståndet mellan punkterna (x1, y1) och (x2, y2) är

Arean av en triangel[redigera | redigera wikitext]

Om triangelns hörn har koordinaterna (x1, y1), (x2, y2) och (x3, y3), är dess area

För att T skall vara positiv, måste punkterna (x1,y1), (x2, y2) och (x3, y3) följa på varandra i positiv led, det vill säga moturs.

Delning av en sträcka[redigera | redigera wikitext]

Delas sträckan mellan punkterna (x1, y1) och (x2, y2), i förhållandet m/n blir delningspunktens koordinater

Vinkelkoefficienten för en rät linje[redigera | redigera wikitext]

Låt vara den vinkel en linje bildar med x-axeln. Om linjen går genom punkterna (x1, y1) och (x2,y2) blir vinkelkoefficienten

Räta linjens ekvation[redigera | redigera wikitext]

Räta linjens ekvation är en förstgradsekvation i x och y och den allmänna formen är

Varje ekvation av första graden representerar en linje.

betyder en rät linje parallell med y-axeln och

är en linje parallell med x-axeln.

är en linje genom origo.

k-formen[redigera | redigera wikitext]

Räta linjen kan skrivas på formen

om linjen ej är parallell med y-axeln, det vill säga B är nollskild. Här är k linjens vinkelkoefficient

och m y-koordinaten för linjens skärning med y-axeln.

Intercept-form.svg

Interceptformen[redigera | redigera wikitext]

Interceptformens parametrar är linjens skärningspunkter med x-axeln respektive y-axeln och skrivs

där a är x-koordinaten för linjens skärningspunkt med x-axeln och b är y-koordinaten för linjens skärningspunkt med y-axeln eller

Normalformen[redigera | redigera wikitext]

Line-normal-form.svg

är normalformen för den räta linjen. och m bestäms ur

Kvadratrotens tecken väljs så att m blir positivt.

m är längden av normalen från origo till linjen och är denna normals vinkel med x-axeln.

Avståndet från en punkt till en rät linje[redigera | redigera wikitext]

Räta linjen skrivs på normalformen

Då är avståndet från punkten P med koordinaterna (x1,y1):

där tecknet + väljs om origo och P ligger på olika sidor om linjen.

Enpunktsformen[redigera | redigera wikitext]

Ekvationen för en rät linje genom punkten (x1, y1) med vinkelkoefficienten k är

Tvåpunktsformen[redigera | redigera wikitext]

Ekvationen för en rät linje genom punkterna (x1, y1) och (x2, y2) är

Vinkeln mellan två linjer[redigera | redigera wikitext]

Om linjernas vinkelkoefficienter är k1 respektive k2 bestäms vinkeln mellan linjerna av

Plana kurvor[redigera | redigera wikitext]

En kurva i ett ortogonalt koordinatsystem ger ett funktionssamband mellan koordinaterna x och y.

Kurvans ekvation kan vara i explicit form

i implicit form

eller i parameterform

I polära koordinater blir kurvans ekvation

eller

Tangenten[redigera | redigera wikitext]

Tangent-2D.svg

Vinkelkoefficienten för tangenten till en kurva i rätvinkliga koordinater är lika med funktionens derivata i tangeringspunkten:

Asymptot.svg

Asymptoter[redigera | redigera wikitext]

Med en asymptot till en kurva menas en linje sådan att avståndet mellan linjen och en punkt på kurvan går mot noll då punkten går mot oändligheten.

Om en asymptot till kurvan y = f(x) har ekvationen y = kx + m, bestäms k och m enligt

Analytisk geometri i R3[redigera | redigera wikitext]

Koordinatsystem i R3

Koordinatsystem[redigera | redigera wikitext]

Som koordinatsystem i R3 används tre plan, vanligtvis vinkelräta mot varandra. Planens skärningspunkter kallas x-, y- och z-axlarna. De tre planen betecknas efter ingående axlar som xy-planet, yz-planet och xz-planet.

Rätvinkliga koordinater[redigera | redigera wikitext]

Riktningscosiner[redigera | redigera wikitext]
Riktningscosiner.svg

En punkt P's koordinater (x, y, z) är de vinkelräta avstånden till yz-, xz- och xy-planen. Om är vinklarna mellan ortsvektorn med längden r och axlarna är

där

är riktningscosinerna vilka betecknas a, b och c och för vilka gäller

Vinkeln mellan två riktningar[redigera | redigera wikitext]

Om två riktningar är givna, OA1 med riktningscosinerna a1, b1 och c1 och OA2 med riktningscosinerna a2, b2 och c2, så gäller för vinkeln mellan OA1 och OA2:

Rotation av koordinatsystem[redigera | redigera wikitext]

Vid övergång från ett rätvinkligt koordinatsystem (xyz) till ett annat (x'y'z') med gemensamt origo men olika axelriktningar och med riktningscosinerna i xyz-planet betecknade

för x'-axeln med
för y'-axeln med
för z'-axeln med

blir transformationformlerna

Avståndet mellan två punkter[redigera | redigera wikitext]

Avståndet d mellan punkterna (x1, y1, z1) och (x2, y2, z2) är

Om a, b och c är riktningscosinerna för en linje genom de båda punkterna, beräknas dessa som

Plan i R3[redigera | redigera wikitext]

Plane-definition-2.svg

Om (x0, y0, z0) är en ortsvektor till en punkt i planet och (A, B, C) en normalvektor till planet, kan planets ekvation skrivas som skalärprodukten av normalvektorn och vektorn (x - x0, y - y0, z - z0):

vilket ger den allmänna formen av planets ekvation som

där D är

En ekvation av första graden representerar alltid ett plan. Riktningscosinerna för planets normal är

Tecknet framför roten väljs så att

alltid är positiv. Därigenom är normalen riktad mot planets "positiva" sida.

Normalform[redigera | redigera wikitext]

Genom division med

erhålls planets ekvation på normalform

där är de vinklar som planets normal bildar med koordinataxlarna och p är längden av normalen från origo till planet.

Vektorform[redigera | redigera wikitext]

Plane-definition.svg

Ekvationen för ett plan med normalvektorn n, en given punkt r0 och med r som ortsvektor för en godtycklig punkt (x, y, z) i planet är

Avståndet från en punkt till ett plan[redigera | redigera wikitext]

Punktens koordinater sätts in i planets normalform

och avståndet är då lika med vänsterledet med tecknet '-' om punkt och origo ligger på samma sida om planet, annars med tecknet '+'.

Exempel:

Beräkna avståndet från punkten (1, -3, 2) till planet

Planets ekvation i normalform

Vinkeln mellan två plan[redigera | redigera wikitext]

Vinkeln mellan planen

bestäms av ekvationen

Plane-angle.svg

Om planens normalvektorer är kända kan skalärprodukten av normalvektorerna användas för att bestämma vinkeln mellan planen:

Räta linjen[redigera | redigera wikitext]

IntersectingPlanes.png

Räta linjen kan betraktas som skärningen mellan två plan och representeras av förstagradsekvationerna

En linje är bestämd av en punkt P = (x0, y0, z0) på linjen och en riktningsvektor u:

Line in vector form,R3.svg

I parameterform gäller för en punkt (x, y, z) på linjen:

eller

där a, b och c är riktningskoefficienter, eller efter eliminering av parametern

I vektorform kan linjens ekvation skrivas

Kurvor i R3[redigera | redigera wikitext]

En kurva i R3 kan framställas på flera sätt:

Som skärningen mellan två ytor:

I parameterform:

I vektorform:

Exempel:

Skruvlinje.svg

Skruvlinjen kan framställas i parameterform som

Båglängd[redigera | redigera wikitext]

Längden av ett bågelement på kurvan är

Längden av kurvbågen mellan t0 och t är

Tangent[redigera | redigera wikitext]

Tangentens ekvation i vektorform är

Normalplanet[redigera | redigera wikitext]

3D-planes.svg

Ekvationen i vektorform för normalplanet i punkten s är

Oskulerande planet[redigera | redigera wikitext]

I en punkt på en kurva i R3 kan i allmänhet läggas oändligt många tangentplan till kurvan. Det tangentplan som närmast ansluter till kurvan kallas oskulerande planet och har ekvationen

där A, B och C bestäms ur formlerna

eller i vektorform

Principalnormal[redigera | redigera wikitext]

Den normal till kurvan som ligger i det oskulerande planet kallas principalnormal. Dess riktning är den samma som för vektorn

Längden av denna vektor benämns krökning K, varför vektorn också kallas krökningsvektor:

Krökningsradie[redigera | redigera wikitext]

Krökningsradien är krökningens inverterade värde:

Den punkt på principalnormalen som ligger på avståndet R från kurvan kallas krökningscentrum och kan i vektorform anges som

Ytor i R3[redigera | redigera wikitext]

En yta i R3 kan skrivas i parameterform

eller i vektorform

Ekvationen kan också vara given på formen

eller

I det senare fallet kan x och y betraktas som parametrar, varvid ekvationen i parameterform blir:

Linjeelement[redigera | redigera wikitext]

Tangentplanets ekvation[redigera | redigera wikitext]

Om ekvationen för ytan är

kan tangentplanets ekvation skrivas om tangeringspunkten är (x0, y0, z0):

eller i vektorform som

Ytnormalens ekvation[redigera | redigera wikitext]

Om ytans ekvation är

så gäller för ytnormalen i punkten (x0, y0, z0):

eller

Se även[redigera | redigera wikitext]