Hyperbel

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Hyperbel med brännpunkterna F1 och F2

En hyperbel är den geometriska orten för en punkt P i planet, vars avstånd till två givna punkter, brännpunkterna F1 och F2, har en konstant skillnad. Hyperbeln är ett av kägelsnitten.

Hyperbeln, som består av två oändliga grenar, är symmetrisk i förhållande till transversalaxeln, på vilken brännpunkterna ligger och konjugataxeln. Axlarnas skärningspunkt kallas medelpunkt och genom denna går hyperbelns två asymptoter.

Ett mått på hyperbelns form är dess excentricitet e = c/a, där c är halva avståndet mellan brännpunkterna och a är avståndet från medelpunkten till skärningspunkterna med transversalaxeln. Ju större excentriciteten är desto större är vinkeln mellan asymptoterna.

Ekvationer[redigera | redigera wikitext]

Transversalaxeln är den horisontella axeln och konjugataxeln den vertikala
a — avståndet från centrum C till skärningspunkterna med transversalaxeln
e — excentriciteten
D1 och D2 kallas styrlinjer och kan användas för konstruktion av hyperbeln enligt sambandet PF1 = e PD1

Väljs sammanbindningslinjen mellan brännpunkterna till x-axel och dess mittpunktsnormal till y-axel, blir hyperbelns ekvation

\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2} = 1\,

Om A1 och A2 är skärningspunkterna med x-axeln är

a = OA_1 = OA_2\,

Med

c = OF_1 = OF_2 = \sqrt{a^2 + b^2}\,

definieras excentriciteten som

e = \frac{c}{a}\,

Asymptoter[redigera | redigera wikitext]

Linjerna

y=\pm \frac{b}{a}x\,

är hyperbelns asymptoter.

För den liksidiga hyperbeln är asymptoterna vinkelräta mot varandra.

Tangenter[redigera | redigera wikitext]

Tangenten i punkten (x1, y1) är

\frac{x x_1}{a^2}-\frac{y y_1}{b^2}=1\,

Normaler[redigera | redigera wikitext]

Normalen i punkten (x1, y1) är

(x - x_1)a^2y_1+(y-y_1)b^2x_1=0

Krökningsradie[redigera | redigera wikitext]

Krökningsradien är

R=a^2 b^2 \left (\frac{x^2}{a^4}+\frac{y^2}{b^4}\right)^{\frac{3}{2}}

Konstruktion[redigera | redigera wikitext]

Brännpunkterna givna Axlarna givna
Brännpunkterna givna
Axlarna givna

Brännpunkterna givna[redigera | redigera wikitext]

Låt F1 och F2 vara brännpunkterna. Drag en cirkel med godtycklig radie F2A = r med F2 som medelpunkt. Drag sedan cirkeln med radien r-2a där a är avståndet till skärningspunkten med transversalaxeln och med F1 som medelpunkt. Cirklarna skär varandra i C1 och C2 som är punkter på hyperbeln.

Axlarna givna[redigera | redigera wikitext]

Drag från punkten OA = a tangenten AT1 och från punkten OB = b tangenten BT2. Drag en godtycklig linje genom O som skär tangenterna i C och D. Avsätt sträckan OE = OD. Dras PE vinkelrätt mot OE och CP vinkerätt mot PE är P en hyperbelpunkt.