Hyperbel
Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2020-06) Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan. |
En hyperbel är den geometriska orten för en punkt P i planet, vars avstånd till två givna punkter, brännpunkterna F1 och F2, har en konstant skillnad. Hyperbeln är ett av kägelsnitten.
Hyperbeln, som består av två oändliga grenar, är symmetrisk i förhållande till transversalaxeln, på vilken brännpunkterna ligger, och konjugataxeln. Axlarnas skärningspunkt kallas medelpunkt och genom denna går hyperbelns två asymptoter.
Ett mått på hyperbelns form är dess excentricitet e = c/a, där c är halva avståndet mellan brännpunkterna och a är avståndet från medelpunkten till skärningspunkterna med transversalaxeln. Ju större excentriciteten är desto större är vinkeln mellan asymptoterna.
Ekvationer
[redigera | redigera wikitext]Väljs sammanbindningslinjen mellan brännpunkterna till x-axel och dess mittpunktsnormal till y-axel, blir hyperbelns ekvation
Om A1 och A2 är skärningspunkterna med x-axeln är
Med
definieras excentriciteten som
Asymptoter
[redigera | redigera wikitext]Linjerna
är hyperbelns asymptoter.
För den liksidiga hyperbeln är asymptoterna vinkelräta mot varandra.
Tangenter
[redigera | redigera wikitext]Tangenten i punkten (x1, y1) är
Normaler
[redigera | redigera wikitext]Normalen i punkten (x1, y1) är
Krökningsradie
[redigera | redigera wikitext]Krökningsradien är
Konstruktion
[redigera | redigera wikitext]Brännpunkterna givna
[redigera | redigera wikitext]Låt F1 och F2 vara brännpunkterna. Drag en cirkel med godtycklig radie F2A = r med F2 som medelpunkt. Drag sedan cirkeln med radien r-2a där a är avståndet till skärningspunkten med transversalaxeln och med F1 som medelpunkt. Cirklarna skär varandra i C1 och C2 som är punkter på hyperbeln.
Axlarna givna
[redigera | redigera wikitext]Drag från punkten OA = a tangenten AT1 och från punkten OB = b tangenten BT2. Drag en godtycklig linje genom O som skär tangenterna i C och D. Avsätt sträckan OE = OD. Dras PE vinkelrätt mot OE och CP vinkerätt mot PE är P en hyperbelpunkt.
Det kanske enklaste sättet att konstruera en hyperbel när axlarna är givna är att utnyttja Pythagoras sats enligt bild. Om en av axlarna är imaginär så gäller i stället .