Central binomialkoefficient

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
1
1   1
1   2   1
1   3   3   1
1   4   6   4   1
1   5  10  10   5   1
1   6  15  20  15   6   1
Centrala binomialkoefficienter i Pascals triangel.

En central binomialkoefficient är inom matematiken ett tal på formen

där n är ett heltal och betecknar en binomialkoefficient. Exempelvis är

Heltalsföljden av centrala binomialkoefficienter för n = 0, 1, 2, ... börjar 1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, 3432, 12870, 48620, ... (talföljd A000984 i OEIS). De centrala binomialkoefficienterna utgör den centrala kolumnen i Pascals triangel.

Alternativa representationer[redigera | redigera wikitext]

En central binomialkoefficient kan skrivas med fakulteter som

och med en semifakultet som

De centrala binomialkoefficienterna är intimt förbundna med catalantalen Cn som ges av

Storleksuppskattning[redigera | redigera wikitext]

Enligt Stirlings formel gäller

En noggrannare olikhet är

för alla

Ett gränsvärde är

.

Samband mellan binomialkoefficienter[redigera | redigera wikitext]

Ett stort antal samband mellan centrala binomialkoefficienter samt mellan centrala binomialkoefficienter och andra binomialkoefficienter kan härledas. Några exempel är:

Listan (Hubbard & Roby) innehåller fler formler av samma typ.

Talteoretiska egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Paul Erdős och Ronald Graham formulerade 1980 en förmodan att den centrala binomialkoefficienten aldrig är kvadratfri för n > 4. Ett fullständigt bevis gavs 1996 av A. Granville och O. Ramare.

Wolstenholmes sats kan användas för att visa att

för alla primtal p > 3.

Genererande funktion[redigera | redigera wikitext]

De centrala binomialkoefficienterna har den genererande funktionen

Generalisering till komplexa tal[redigera | redigera wikitext]

Gammafunktionen kan användas för att utvidga definitionen till komplexa tal z enligt

.

De centrala binomialkoefficienterna ges även av integralen

Serier av inversa centrala binomialkoefficienter[redigera | redigera wikitext]

I allmänhet är

där pFq betecknar en hypergeometrisk funktion. Som specialfall gäller exempelvis


där ζ betecknar Riemanns zetafunktion och ψn betecknar polygammafunktionen. Fler sådana summor ges av Weisstein.

En analogisk serie är

Några specialfall av den är

.

Källor[redigera | redigera wikitext]