de Moivres formel

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

de Moivres formel, uppkallad efter Abraham de Moivre, är ett sätt att beräkna värdet av ett komplext tal upphöjt till ett heltal n, det vill säga zn = (a + bi)n. På polär form lyder formeln:

z^n = \bigl(r(\cos\theta+i\sin\theta)\bigr)^n = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta).

Uttryckt i naturligt språk betyder detta att man multiplicerar den polära formens vinkel med exponenten och upphöjer radien till exponenten för att få fram resultatet.

Bevis[redigera | redigera wikitext]

Att bevisa de Moivres formel hänger på att visa

(\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos (n\theta) + i \sin (n\theta)\,

då resten av formeln följer av potenslagarna.

Med Eulers formel[redigera | redigera wikitext]

Givet Eulers formel:

e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta \,

och följande exponentlag:

 (e^{i\theta})^n = e^{in\theta}\,

följder det lätt att:

 (\cos \theta + i \sin \theta)^n = (e^{i\theta})^n = e^{i(n\theta)} = \cos (n\theta) + i \sin (n\theta)\,