Eulers formel

Från Wikipedia
Hoppa till navigering Hoppa till sök
Se Eulers formel (geometri) för det resultat gällande konvexa polyedrar som även kallas "Eulers formel"
Eulers formel på enhetscirkeln i det komplexa talplanet.

Eulers formel inom komplex analys, uppkallad efter Leonhard Euler, kopplar samman exponentialfunktionen och de trigonometriska funktionerna:

En enkel konsekvens av Eulers formel är Eulers identitet

som förbluffat matematikstuderande genom tiderna. Formeln relaterar fyra tal från helt olika delar av matematiken: talet från analysen, talet från geometrin, den imaginära enheten, , från de komplexa talen och talet 1 från aritmetiken.

Formeln kan härledas ur taylorutvecklingen av genom att sätta . Det finns även en omvänd variant som kallas Eulers formler, vilka istället uttrycker de trigonometriska funktionerna sinus och cosinus med hjälp av exponentialfunktionen:

Bevis av Eulers formel[redigera | redigera wikitext]

Taylorserien för den reella exponentialfunktionen kan skrivas

Detta motiverar definitionen av den komplexa exponentialfunktionen enligt

Funktionerna , och (där är ett reellt tal) kan taylorutvecklas runt noll, vilket ger serierna

För komplexa tal , definieras var och en av dessa funktioner av respektive serie genom att ersätts med (där är ett reellt och är ett komplext tal). Detta är tillåtet om högerleden existerar för alla , vilket är fallet då konvergensradierna är oändliga. De tre serierna är absolutkonvergenta för alla . Då gäller:

Notera att om sätts till ett reellt tal så erhålls Eulers formel på den vanliga formen:

Se även[redigera | redigera wikitext]