Eulers formel

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Se Eulers formel (geometri) för det resultat gällande konvexa polyedrar som även kallas "Eulers formel"
Eulers formel på enhetscirkeln i det komplexa talplanet.

Eulers formel inom komplex analys, uppkallad efter Leonhard Euler, kopplar samman exponentialfunktionen och de trigonometriska funktionerna:

En enkel konsekvens av Eulers formel är Eulers identitet

som förbluffat matematikstuderande genom tiderna. Formeln relaterar fyra tal från helt olika delar av matematiken: talet e från analysen, talet π från geometrin, den imaginära enheten, i, från de komplexa talen och talet 1 från aritmetiken.

Formeln kan härledas ur Taylorutvecklingen av ez genom att sätta z = . Det finns även en omvänd variant som kallas Eulers formler, vilka istället uttrycker de trigonometriska funktionerna sinus och cosinus med hjälp av exponentialfunktionen:

Bevis av Eulers formel[redigera | redigera wikitext]

Taylorserien för den reella exponentialfunktionen ex kan skrivas

Detta motiverar definitionen av den komplexa exponentialfunktionen enligt

Funktionerna ex, cos(x) och sin(x) (där x är ett reellt tal) kan taylorutvecklas runt noll, vilket ger serierna

För komplexa tal z, definieras var och en av dessa funktioner av respektive serie genom att x ersätts med z (där x är ett reellt och z är ett komplext tal). Detta är tillåtet om högerleden existerar för alla z, vilket är fallet då konvergensradierna är oändliga. De tre serierna är absolutkonvergenta för alla z. Då gäller:

Notera att om z sätts till ett reellt tal x så erhålls Eulers formel på den vanliga formen:

Se även[redigera | redigera wikitext]