Frenet–Serrets formler

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Frenet-Serrets formler, namngivna efter de två franska matematikerna Jean Frédéric Frenet och Joseph Alfred Serret, vilka båda upptäckte formlerna oberoende av varandra, är i vektoranalys formler som beskriver de kinematiska egenskaperna hos en partikel vilken färdas längs en kontinuerlig, differentierbar kurva i ett tre-dimensionellt euklidiskt rum R3.

Naturliga koordinater[redigera | redigera wikitext]

Det naturliga koordinatsystemet följer en punkt i en helix. Tangenten \hat{\mathbf{t}} representeras av den blåa pilen, normalen \hat{\mathbf{n}} av den röda och binormalen \hat{\mathbf{b}} av den svarta pilen.

Naturliga koordinater eller naturliga basen (ej att förväxla med talet e) är ett koordinatsystem som följer med en kurva i rummet, till skillnad från t.ex. ett kartesiskt koordinatsystem som är fixt i rummet. Det är i allmänhet svårt att räkna i naturliga koordinater, men dess teori ger värdefulla insikter om naturen hos en partikel som rör sig längs en kurva.

Basvektorerna är \{ \hat{\mathbf{t}},\hat{\mathbf{n}},\hat{\mathbf{b}} \} , där \hat{\mathbf{t}} är en enhetsvektor i tangentens riktning, \hat{\mathbf{n}} är en enhetsvektor i normalriktningen (riktad mot krökningscentrum och vinkelrät mot \hat{\mathbf{t}}) och \hat{\mathbf{b}} en enhetsvektor i binormalriktningen så att \{ \hat{\mathbf{t}},\hat{\mathbf{n}},\hat{\mathbf{b}} \} bildar ett högersystem av ortonormala vektorer. Om kurvan parametriseras med s, sträckan längs kurvan från en given startpunkt, kan \hat{\mathbf{t}} definieras enligt

\hat{\mathbf{t}} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}s}

där \mathbf{r} är en lägesvektor från en punkt fix i rummet.

Frenet-Serrets formler[redigera | redigera wikitext]

Betrakta nu specialfallet att kurvan är en cirkel med radie R. Allteftersom partikeln rör sig (s ökar) kommer \hat{\mathbf{t}} att vridas in mot cirkelns mitt (som är ett permanent krökningscentrum). Ju mindre radie, desto större ändring. Då gäller att

\frac{\mathrm{d}\hat{\mathbf{t}}}{\mathrm{d}s} = \frac{1}{R}\hat{\mathbf{n}},.

I allmänhet ändras krökningscentrum hela tiden, vilken då kan betecknas \rho. Krökningen definieras då som \kappa = \frac{1}{\rho}, så i allmänhet gäller

\frac{\mathrm{d}\hat{\mathbf{t}}}{\mathrm{d}s} = \kappa \hat{\mathbf{n}},

vilken är Frenet-Serrets första formel. De andra två formlerna är

\frac{\mathrm{d}\hat{\mathbf{n}}}{\mathrm{d}s} = \tau \hat{\mathbf{b}}- \kappa \hat{\mathbf{t}}

och

\frac{\mathrm{d}\hat{\mathbf{b}}}{\mathrm{d}s} = - \tau \hat{\mathbf{n}},

där \tau är torsionen, som kan ses som ett mått på hur mycket kurvan avviker från att hela tiden ligga i samma plan.

Referenser[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia