Hypergeometriska funktionen

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Hypergeometriska funktionen 2F1(a,b;c;z) är en väldigt viktig speciell funktion som har flera andra speciella funktioner som specialfall.

Historia[redigera | redigera wikitext]

Termen "hypergeometrisk serie" användes först av John Wallis 1655 i hans bok Arithmetica Infinitorum.

Hypergeometriska serier undersöktes av Leonhard Euler, men den första systematiska studien utfördes av Carl Friedrich Gauss 1813.

På 1800-talet undersökte även Ernst Kummer (1836) och Bernhard Riemann (1857) hypergeometriska serier. Riemann karakteriserade hypergeoemtriska funktionen med hjälp av en differentialekvation som den satisfierar.

Definition[redigera | redigera wikitext]

Hypergeometriska funktionen definieras för |z| < 1 som serien

Den är odefinierad om c är ett icke-positivt heltal. Här är (x)n Pochhammersymbolen

Specialfall[redigera | redigera wikitext]

Ett stort antal matematiska funktioner kan uttryckas med hjälp av hypergeometriska funktionen. Några typiska exempel är

Legendrepolynomen är också specialfall:

Meixner–Pollaczekpolynomen:

Flera viktiga ortogonala polynom, såsom Jacobipolynomen, kan också skrivas med hjälp av hypergeometriska funktionen:

Ofullständiga betafunktionen Bx(p,q):

Elliptiska integraler:

Elliptiska modulära funktioner kan ibland uttryckas som inversa funktionen till ett kvot av hypergeometriska funktioner vars argument a, b, c är 1, 1/2, 1/3, ... eller 0. Exempelvis om

är

en elliptisk modulär funktion av τ.

Vissa elementära funktioner är gränsvärden av hypergeometriska funktionen:

Integralformler[redigera | redigera wikitext]

Om B är betafunktionen är

om |z| < 1 eller |z| = 1 och båda membrum konvergerar. Formeln kan bevisas genom att utveckla (1 − zx)a i en serie med binomialsatsen och integrera termvis. Formeln upptäcktes av Euler 1748.

Transformationer[redigera | redigera wikitext]

Eulers transformation är

som följer genom att kombinera Ptaffs transformationer

som igen följer ur Eulers integralrepresentation.

En kvadratisk transformation är

En kubisk transformation är

Värden vid speciella punkter[redigera | redigera wikitext]

Gauss sats är

som följer genom att sätta z = 1 i Eulers integralrepresentation.

Kummers sats är

som följer ur Kummers kvadratiska transformationer

och Gauss sats genom att sätta z = −1 i första identiteten.

Gauss andra sats är

Baileys sats är

Identiteter[redigera | redigera wikitext]

Ett intressant specialfall av identiteten ovan är följande:

Gauss kedjebråk[redigera | redigera wikitext]

Gauss kedjebråk är

Källor[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Hypergeometric function, 16 november 2013.