Besselfunktion

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Inom matematiken är besselfunktionerna lösningarna till differentialekvationen

.

Denna ekvation uppkommer när man tittar på den radiella delen av Laplaces ekvation i cylindriska koordinater.

Definition[redigera | redigera wikitext]

Besselfunktionerna av första slaget definieras av:

.

Om är ett heltal kan Besselfunktionerna definieras som integralen

.

En integral för alla värden på α är

Differentialekvationen har två linjärt oberoende lösningar och därför behövs även Besselfunktioner av andra slaget:

.

är inte begränsad då , vilket gör att man ofta kan bortse från denna lösning av fysikaliska skäl. För heltal n måste Besselfunkttionen av andra slaget definieras som gränsvärdet

.

Gränsvärdet ges av uttrycket

där är Eulers konstant och är det n:te harmoniska talet.

En integralrepresentation för Re(x) > 0 är

Sfäriska Besselfuntioner[redigera | redigera wikitext]

I samband med Laplaces ekvation i sfäriska koordinater uppkommer en liknande ekvation för den radiella delen:

Denna har de sfäriska Besselfunktionerna som lösningar.

Se vidare Klotytefunktion.

Hankelfunktioner[redigera | redigera wikitext]

En annan viktig formulering av två linjärt oberoende lösningar på Bessels ekvation är Hankelfunktionerna Hα(1)(x) och Hα(2)(x) som definieras som

där i är imaginära enheten. De är även kända som Besselfunktioner av tredja slaget. De är uppkallade efter Hermann Hankel.

Hankelfunktionerna kan uttryckas som

Om α är ett heltal måste gränsvädet räknas. Oberoende om α är ett heltal eller inte gäller följande relationer:

Modifierade Besselfunktioner[redigera | redigera wikitext]

Ett viktigt specialfall av Besselfunktionerna är set då argumentet är rent imaginärt. I det fallet kallas funktionerna för modifierade Besselfunktioner (eller ibland för hyperboliska Besselfunktioner) av första och andra slaget, och definieras som

De är reellvärda för positiva reella argument x.

Om −π < arg(x) ≤ π/ är

,

och om −π/2 < arg(x) ≤ π är

.

För −π < arg(z) ≤ π/2 är

Iα(x) och Kα(x) är två linjärt oberoende lösningar av modifierade Besselekvationen

Två integralformler för Re(x) > 0 är

Modifierade Besselfunktionerna K1/3 and K2/3 kan skrivas som de snabbt konvergerande integralerna

Modifierade Besselfunktionerna av andra slaget har även kallats för:

Riccati-Besselfunktioner[redigera | redigera wikitext]

Riccati-Besselfunktionerna definieras som

De satisfierar differentialekvationen

Multiplikationsteorem[redigera | redigera wikitext]

Besselfunktionerna satisfierar multiplikationsteoremet

där λ och ν är godtyckliga kompexa tal. Den analoga formeln för modifierade Besselfunktioner är

och

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Besselfunktionerna satisfierar de användbara rekursionerna

.

För heltal α = n kan Jn definieras via Laurentserien

Andra liknande relationer för heltal n är

och

För ν > −1/2 och zC kan Besselfunktionerna definieras som integralerna

Besselfunktionerna satisfierar ortogonalitetsrelationen

En annan integral är

Relation till andra funktioner[redigera | redigera wikitext]

Besselfunktionerna är relaterade till generaliserade hypergeometriska serier enligt

Besselfunktionerna är även relaterade till Laguerrepolynomen enligt

där t är ett godtyckligt tal.

Identiteter[redigera | redigera wikitext]

Se även[redigera | redigera wikitext]

Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.