Hopningspunkt

Från Wikipedia
Hoppa till navigering Hoppa till sök

Hopningspunkt är en term inom matematisk analys och topologi, som används för flera snarlika begrepp. Enkelt uttryckt sägs en punkt a vara en hopningspunkt till en följd A om följdens element kommer hur nära a som helst, hur många gånger som helst. Med en hopningspunkt för en mängd menas däremot ofta detsamma som en gränspunkt för mängden.

Hopningspunkt för en följd[redigera | redigera wikitext]

Betrakta en följd , där alla xn ligger i någon mängd S. En hopningspunkt till skall vara ett element x i S, sådant att det finns xn "hur nära x som helst", för hur stora n som helst. För att detta skall vara meningsfullt, måste det finnas något sätt att specificera "närhet" på i S. Det enklaste fallet är när S är ett talområde (exempelvis R eller C) och alltså är en talföljd; då ligger xn nära x, om absolutbeloppet |xn - x| är ett litet tal. Litet allmännare kan S vara exempelvis det reella k-dimensionella rummet Rk (för något positivt heltal k), eller något annat rum där man har en väldefinierad avståndsfunktion d(*,*) , ett metriskt rum; då ligger xn nära x, om d(xn , x) är ett litet tal. Ännu mer generellt kan "närhet" definieras av att man bara har bestämt vilka de öppna omgivningarna till exempelvis punkten x är, så att är en punktföljd i ett topologiskt rum S.

På engelska kallas ibland mängden av alla hopningspunkter för en viss följd för dess "limit set".


Talföljder[redigera | redigera wikitext]

Talet x säges vara hopningspunkt till talföljden , om till varje ε > 0 och varje naturligt tal N det finns något ν, sådant att

|xν - x| < ε och ν > N .[1]

Här krävs inte alls att alla xν är olika. Skulle ett visst tal förekomma ett oändligt antal gånger i följden, så är det talet en hopningspunkt. Exempelvis har vardera av följderna 1,1,1,1,1,1,1,… och 1,2,1,3,1,4,1,5,1,… bara en hopningspunkt, nämligen 1.[1] Den första följden konvergerar dessutom mot 1, medan den andra följden är divergent. Följden 1,1,2,1,2,3,1,2,3,4,1,2,3,4,5,1,… har alla positiva heltal som hopningspunkter.

Å andra sidan behöver inte x förekomma någon gång alls för att vara en hopningspunkt. Om ges av föreskriften xn = 1/n (för varje positivt heltal n), så konvergerar mot 0, och har därför också 0 som hopningspunkt. Om däremot 'xn = sin(n), så är divergent, men har alla reella tal i det slutna intervallet från -1 till 1 som hopningspunkter.

Om följden konvergerar mot något tal, så är också detta tal en hopningspunkt till följden.

Ekvivalenta villkor[redigera | redigera wikitext]

Låt x vara en hopningspunkt till , och låt ε vara ett positivt reellt tal. Enligt ovanstående definition finns då för varje naturligt tal N minst ett annat naturligt tal ν, sådant att ν är större än N och att xν ligger i ε-omgivningen till x, alltså i mängden

Då måste också B(x,ε) innehålla xν för oändligt många olika ν. Låt nämligen n1 vara det lägsta indexet sådant att xn1 ∈ B(x,ε). Tillämpar man definitionen med N = n1, får man att det måste finnas minst ett ν som är större än n1 och uppfyller att xν ∈ B(x,ε). Låt nu n2 vara det minsta möjliga sådana indexet ν. Tillämpar man nu definitionen med N = n2, får man att det måste finnas minst ett ν som är större än n2 och uppfyller att xν ∈ B(x,ε). Låt nu n3 vara det minsta möjliga sådana indexet ν. Man kan fortsätta på samma sätt hur länge som helst, och får därför en oändlig följd

sådan att xni ∈ B(x,ε) för alla i.

Omvänt, om xν ∈ B(x,ε) för oändligt många ν, och N är ett godtyckligt naturligt tal, så finns minst ett (och till och med oändligt många) ν > N med xν ∈ B(x,ε).

Därför är den ursprungliga definitionen ekvivalent med följande:

(1)   x är en hopningspunkt till , om och endast om varje ε-omgivning till x innehåller xν för oändligt många ν.

Ett annat ekvivalent villkor är att

(2)   x är en hopningspunkt till , om och endast om har en delföljd som konvergerar mot x.[1]

Punktföljder i metriska rum[redigera | redigera wikitext]

Allmännare kan vi fortsätta att betrakta följden med x,x,x,… ∈ S, men där S inte behöver vara ett talområde, utan också kan vara något annat metriskt rum, som till exempel R3.. Låt metriken (avståndsfunktionen) i S vara d. Om S är ett talområde, ges ju d av att

Detta gör att definitionen för hopningspunkter för talföljder kan skrivas om i termer av metriken i stället för absolutbelopp, Denna omskrivna definition kan sedan tillämpas på punktföljder i varje metriskt rum. Punkten (elementet) x i S säges alltså vara hopningspunkt till , om till varje ε > 0 och varje naturligt tal N det finns något ν, sådant att

d(xν - x) < ε och ν > N .

Även andra ovan nämnda resultat kan generaliseras. Om följden konvergerar mot någon punkt i S, så är också denna punkt en hopningspunkt till följden. (1) och (2) gäller också i detta allmännare fall, där förstås ε-omgivningen till x definieras som

Punktföljder i topologiska rum[redigera | redigera wikitext]

Ännu allmännare kan man definiera hopningspunkter för en följd i ett godtyckligt topologiskt rum S, genom att generalisera villkoret (1). I ett metriskt rum är ju alla ε-omgivningar till en punkt x öppna, och omvänt innehåller varje omgivning till x någon ε-omgivning. Villkor (1) kan därför lika gärna formuleras för godtyckliga omgivningar som för bara ε-omgivningar. Detta ger följande generella definition:

(1')   x är en hopningspunkt till , om och endast om varje omgivning till x innehåller xν för oändligt många ν.


Hopningspunkt för en mängd[redigera | redigera wikitext]

Det är också vanligt att använda termen hopningspunkt för delmängder av topologiska rum. Enkelt uttryckt sägs en punkt a vara en hopningspunkt till en mängd A om a kan "approximeras" med punkter i A som inte är a. Även termen gränspunkt förekommer för dessa punkter. En formell definition kan se ut så här:

Låt (X,T) vara ett topologiskt rum och A en delmängd till X. Punkten a är en hopningspunkt till A om varje öppen mängd (element i T) som innehåller a innehåller någon punkt ur A som inte är a. Detta är ekvivalent med att kräva att varje omgivning till a innehåller ett element i A skilt från a. Notera att a inte behöver vara ett element i A.

Alternativt kan man kräva att varje punkterad omgivning till a innehåller minst en punkt ur A, eller att varje omgivning till a innehåller oändligt många punkter ur A.[1]"

Det finns ett visst samband mellan denna definition, och definitionen av hopningspunkter för följder på topologiska rum; men det är inte ett helt enkelt samband. Om exempelvis topologin TX bestäms av en metrikX, och x är en hopningspunkt för delmängen A av X, så är x också en hopningspunkt för någon följd , där alla xn ligger i A. I allmänna topologiska rum behöver däremot det inte finnas någon sådan följd.

Omvänt, är en följd i X, där alla xn är olika punkter, så är hopningspunkterna till precis detsamma som hopningspunkterna till mängden . För allmänna följder gäller däremot bara en inklusion: Hopningspunkter till A måste också vara hopningspunkter till , men omvändningen behöver inte vara sann. kan ju också ha x som en hopningspunkt, därför att x = xν för oändligt många olika ν, som exempelvis talföljden (1,1,1,1,1,…) (med X = C). En klassisk lärobok i analys nämner ett språkbruk, där man kommer förbi detta problem genom att i praktiken betrakta X som en multimängd, och räkna multipliciteten för elementen i A från antalet index ν som ger respektive element:

"Observera att i en godtyckligt liten omgivning till en hopningspunkt finns oändligt många punkter tillhörande följden. Detta uttryckssätt används även om exempelvis hopningspunkten 1 till följden 1,1,1,... .[1]"


Exempel[redigera | redigera wikitext]

Hopningspunkterna till intervallet är .

Hopningspunkterna till mängden är .

Generaliseringar[redigera | redigera wikitext]

Nät[redigera | redigera wikitext]

Begreppet nät generaliserar följdbegreppet, och (1) kan generaliseras till en definition av hopningspunkt för nät i topologiska rum.

Om är ett nät på det topologiska rummet S, baserat på den riktade mängden D, och A är en delmängd av S, så sägs förekomma ofta i A om det för varje α i D finns något β i D, sådant att β ≥ α och xβ ∈ A. En punkt x i S säges vara en hopningspunkt för ett nät om (och endast om) nätet förekommer ofta i varje omgivning till x.

Filter[redigera | redigera wikitext]

Man kan också definiera hopningspunkter och gränspunkter för den besläktade företeelsen filter.

Se även[redigera | redigera wikitext]

Källor[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia.
  1. ^ [a b c d e] Carl Hyltén-Cavallius, Lennart Sandgren: Matematisk analys II för tvåbetygsstadiet vid universitet och högskolor, Studentlitteratur, Lund 1965.