Kvadratroten ur 2

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Kvadratroten ur 2 (2)
Irrationella tal
 ζ(3)Eeγδφ235πρρδS122 
Square root of 2 triangle.svg
Hypotenusan av en rätvinklig triangel med kateterlängderna 1, har längden √2.
Decimalt 1,4142135623730950488…
Diofantiska approximationer 32; 75; 1712; 4129; 9970; 239169; 577408; 1393985; 33632378; 81195741; 1960113860
(sorterade efter ökande precision)

Kvadratroten ur 2 eller roten ur 2, är det positiva tal vars kvadrat är lika med 2. I geometrin är kvadratroten ur 2, det tal som anger längden av diagonalen i en kvadrat, vars sida har längden 1. Roten ur två är även förhållandet mellan längd och bredd på papper i A-format.

Roten ur två används bland annat för de olika stegen på ett objektivs bländare. Talet, kvadratroten ur 2, avrundat till de tio första decimalerna 1,4142135624 (talföljd A002193 i OEIS)

Att talet inte är rationellt, visades redan av pythagoréerna på 400-talet före Kristus.

Vanligen visas att kvadratroten ur 2 inte är rationellt, det vill säga irrationellt, med ett så kallat reductio ad absurdum- eller motsägelsebevis.

Pythagoréernas klassiska motsägelsebevis från cirka 450 före Kristus[redigera | redigera wikitext]

Antag att √2 är ett rationellt tal, det vill säga att det finns heltal a och b sådana att

där kvoten

är förkortad så långt som möjligt, det vill säga att a och b inte har några gemensamma faktorer.

Kvadrering av (1) ger

eller

Härav följer att a2 är ett jämnt tal och således även att a är jämnt, vilket enligt antagandet ovan, medför att b är udda.

Eftersom a är ett jämnt tal kan a skrivas som

där k är ett heltal. Om 2k sätts in för a i (2) erhålls

eller

Då är b2 jämnt och därmed är även b jämnt, vilket strider emot det nyss visade, att b är udda.

Antagandet har därmed lett fram till en kontradiktion och är därför falskt. Alltså är √2 irrationellt.

Q.E.D.

Motsägelsebevis från cirka 300 före Kristus, grundat på aritmetikens fundamentalsats[redigera | redigera wikitext]

Antag att roten ur 2 är ett rationellt tal. Talet kan då skrivas som en kvot av två heltal:

Kvadrering av båda leden ger

Enligt aritmetikens fundamentalsats kan p uppdelas i n primtalsfaktorer enligt

och på samma sätt kan q uppdelas i m primfaktorer,

Då antalet primfaktorer i ett kvadratiskt tal är jämnt, följer att såväl p2 som q2 har ett jämnt antal primfaktorer. Enligt den andra ekvationen ovan har p2, förutom en faktor 2, samma primfaktorer som q2. Därmed måste p2 ha ett udda antal primfaktorer, vilket strider mot det nyss visade. Antagandet har därmed lett fram till en kontradiktion och därför är det, enligt reductio ad absurdum-regeln, falskt att roten ur 2 är rationellt.

Q.E.D.

Referenser[redigera | redigera wikitext]

Noter[redigera | redigera wikitext]

Övriga källor[redigera | redigera wikitext]

  • Morris Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, New York, Oxford University Press 1972.