Apérys konstant , uppkallad efter den grekisk-franske matematikern Roger Apéry , är en matematisk konstant som definieras som
ζ
(
3
)
=
∑
k
=
1
∞
1
k
3
=
1
+
1
2
3
+
1
3
3
+
1
4
3
+
1
5
3
+
1
6
3
+
1
7
3
+
1
8
3
+
1
9
3
+
⋯
{\displaystyle \zeta (3)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}}}=1+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+{\frac {1}{5^{3}}}+{\frac {1}{6^{3}}}+{\frac {1}{7^{3}}}+{\frac {1}{8^{3}}}+{\frac {1}{9^{3}}}+\cdots \,\!}
där
ζ
{\textstyle \zeta }
Riemanns zetafunktion . Apéry visade att
ζ
(
3
)
{\displaystyle \zeta (3)}
irrationellt tal . Dess approximativa värde är[ 1]
ζ
(
3
)
=
1
,
20205
69031
59594
28539
97381
61511
44999
07649
86292
.
.
.
{\displaystyle \zeta (3)=1,20205\;69031\;59594\;28539\;97381\;61511\;44999\;07649\;86292\;...\!}
Flera kända matematiker, såsom Euler och Ramanujan , har hittat ett flertal serier för Apérys konstant. Följande är en av Eulers formler:[ 2]
ζ
(
3
)
=
π
2
7
[
1
−
4
∑
k
=
1
∞
ζ
(
2
k
)
(
2
k
+
1
)
(
2
k
+
2
)
2
2
k
]
{\displaystyle \zeta (3)={\frac {\pi ^{2}}{7}}\left[1-4\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2k)}{(2k+1)(2k+2)2^{2k}}}\right]}
ζ
(
3
)
=
7
180
π
3
−
2
∑
k
=
1
∞
1
k
3
(
e
2
π
k
−
1
)
{\displaystyle \zeta (3)={\frac {7}{180}}\pi ^{3}-2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{2\pi k}-1)}}}
ζ
(
3
)
=
14
∑
k
=
1
∞
1
k
3
sinh
(
π
k
)
−
11
2
∑
k
=
1
∞
1
k
3
(
e
2
π
k
−
1
)
−
7
2
∑
k
=
1
∞
1
k
3
(
e
2
π
k
+
1
)
.
{\displaystyle \zeta (3)=14\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}\sinh(\pi k)}}-{\frac {11}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{2\pi k}-1)}}-{\frac {7}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{2\pi k}+1)}}.}
[ 3]
ζ
(
3
)
=
8
7
∑
k
=
0
∞
1
(
2
k
+
1
)
3
{\displaystyle \zeta (3)={\frac {8}{7}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1)^{3}}}}
ζ
(
3
)
=
4
3
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
(
k
+
1
)
3
{\displaystyle \zeta (3)={\frac {4}{3}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(k+1)^{3}}}}
ζ
(
3
)
=
1
2
∑
k
=
1
∞
H
k
k
2
{\displaystyle \zeta (3)={\tfrac {1}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {H_{k}}{k^{2}}}\;}
ζ
(
3
)
=
1
2
∑
j
=
1
∞
∑
k
=
1
∞
1
j
k
(
j
+
k
)
{\displaystyle \zeta (3)={\tfrac {1}{2}}\sum _{j=1}^{\infty }\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{jk(j+k)}}\;}
ζ
(
3
)
=
5
2
∑
k
=
1
∞
(
−
1
)
k
−
1
k
!
2
k
3
(
2
k
)
!
{\displaystyle \zeta (3)={\frac {5}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}{\frac {k!^{2}}{k^{3}(2k)!}}}
[ 4] [ 5] [ 6]
ζ
(
3
)
=
1
4
∑
k
=
1
∞
(
−
1
)
k
−
1
56
k
2
−
32
k
+
5
(
2
k
−
1
)
2
(
k
−
1
)
!
3
(
3
k
)
!
{\displaystyle \zeta (3)={\frac {1}{4}}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}{\frac {56k^{2}-32k+5}{(2k-1)^{2}}}{\frac {(k-1)!^{3}}{(3k)!}}}
ζ
(
3
)
=
8
7
−
8
7
∑
k
=
1
∞
(
−
1
)
k
2
−
5
+
12
k
k
(
−
3
+
9
k
+
148
k
2
−
432
k
3
−
2688
k
4
+
7168
k
5
)
k
!
3
(
−
1
+
2
k
)
!
6
(
−
1
+
2
k
)
3
(
3
k
)
!
(
1
+
4
k
)
!
3
{\displaystyle \zeta (3)={\frac {8}{7}}-{\frac {8}{7}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {{\left(-1\right)}^{k}\,2^{-5+12\,k}\,k\,\left(-3+9\,k+148\,k^{2}-432\,k^{3}-2688\,k^{4}+7168\,k^{5}\right)\,{k!}^{3}\,{\left(-1+2\,k\right)!}^{6}}{{\left(-1+2\,k\right)}^{3}\,\left(3\,k\right)!\,{\left(1+4\,k\right)!}^{3}}}}
ζ
(
3
)
=
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
205
k
2
+
250
k
+
77
64
k
!
10
(
2
k
+
1
)
!
5
{\displaystyle \zeta (3)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {205k^{2}+250k+77}{64}}{\frac {k!^{10}}{(2k+1)!^{5}}}}
ζ
(
3
)
=
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
P
(
k
)
24
(
(
2
k
+
1
)
!
(
2
k
)
!
k
!
)
3
(
3
k
+
2
)
!
(
4
k
+
3
)
!
3
{\displaystyle \zeta (3)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {P(k)}{24}}{\frac {((2k+1)!(2k)!k!)^{3}}{(3k+2)!(4k+3)!^{3}}}}
där
P
(
k
)
=
126392
k
5
+
412708
k
4
+
531578
k
3
+
336367
k
2
+
104000
k
+
12463.
{\displaystyle P(k)=126392k^{5}+412708k^{4}+531578k^{3}+336367k^{2}+104000k+12463.\,}
En snabbt konvergerande serie av Tewodros Amdeberhan och Doron Zeilberger (1997):
ζ
(
3
)
=
1
24
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
A
(
n
)
⋅
(
2
n
+
1
)
!
3
⋅
(
2
n
)
!
3
⋅
n
!
3
(
3
n
+
2
)
!
⋅
(
4
n
+
3
)
!
3
{\displaystyle \zeta (3)={\frac {1}{24}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {A(n)\cdot (2n+1)!^{3}\cdot (2n)!^{3}\cdot n!^{3}}{(3n+2)!\cdot (4n+3)!^{3}}}}
där
A
(
n
)
=
126392
n
5
+
412708
n
4
+
531578
n
3
+
336367
n
2
+
104000
n
+
12463
{\displaystyle A(n)=126392n^{5}+412708n^{4}+531578n^{3}+336367n^{2}+104000n+12463}
En serie av Srinivasa Aiyangar Ramanujan :[ 7]
ζ
(
3
)
=
7
π
3
180
−
2
∑
n
=
1
∞
1
n
3
(
e
2
π
n
−
1
)
.
{\displaystyle \zeta (3)={\frac {7\pi ^{3}}{180}}-2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}(e^{2\pi n}-1)}}.}
Simon Plouffe har utvecklat liknande serier:
ζ
(
3
)
=
π
3
28
+
16
7
∑
n
=
1
∞
1
n
3
(
e
π
n
+
1
)
−
2
7
∑
n
=
1
∞
1
n
3
(
e
2
π
n
+
1
)
{\displaystyle \zeta (3)={\frac {\pi ^{3}}{28}}+{\frac {16}{7}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}(e^{\pi n}+1)}}-{\frac {2}{7}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}(e^{2\pi n}+1)}}}
ζ
(
3
)
=
28
∑
n
=
1
∞
1
n
3
(
e
π
n
−
1
)
−
37
∑
n
=
1
∞
1
n
3
(
e
2
π
n
−
1
)
+
7
∑
n
=
1
∞
1
n
3
(
e
4
π
n
−
1
)
.
{\displaystyle \zeta (3)=28\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}(e^{\pi n}-1)}}-37\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}(e^{2\pi n}-1)}}+7\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}(e^{4\pi n}-1)}}.}
Några integralrepresentationen är
ζ
(
3
)
=
2
π
2
7
log
2
+
16
7
∫
0
π
2
x
log
(
sin
x
)
d
x
{\displaystyle \zeta (3)={\frac {2\pi ^{2}}{7}}\log 2+{\frac {16}{7}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}x\log(\sin x)dx}
ζ
(
3
)
=
∫
0
1
∫
0
1
∫
0
1
d
x
d
y
d
z
1
−
x
y
z
{\displaystyle \zeta (3)=\int \limits _{0}^{1}\int \limits _{0}^{1}\int \limits _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} x\mathrm {d} y\mathrm {d} z}{1-xyz}}}
ζ
(
3
)
=
1
2
∫
0
∞
x
2
e
x
−
1
d
x
{\displaystyle \zeta (3)={\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {x^{2}}{\mathrm {e} ^{x}-1}}\mathrm {d} x}
ζ
(
3
)
=
2
3
π
3
∫
0
1
x
(
x
−
1
2
)
(
x
−
1
)
cot
(
π
x
)
d
x
.
{\displaystyle \zeta (3)={\frac {2}{3}}\pi ^{3}\int _{0}^{1}x(x-{\frac {1}{2}})(x-1)\cot(\pi x)\mathrm {d} x.}
Apérys konstant kan uttryckas med hjälp av tetragammafunktionen :
ζ
(
3
)
=
−
1
2
ψ
(
2
)
(
1
)
.
{\displaystyle \zeta (3)=-{\frac {1}{2}}\,\psi ^{(2)}(1).}
Den är också ett specialfall av trilogaritmen :
ζ
(
3
)
=
L
i
3
(
1
)
.
{\displaystyle \zeta (3)=\mathrm {Li} _{3}(1){\frac {}{}}.}
En intressant oändlig produkt över primtalen är
ζ
(
3
)
=
∏
p
p
r
i
m
t
a
l
1
1
−
p
−
3
.
{\displaystyle \zeta (3)=\prod _{p\ \mathrm {primtal} }{\frac {1}{1-p^{-3}}}.}
Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia , Apéry's constant , 1 november 2013 . Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från ryskspråkiga Wikipedia , Постоянная Апери , 5 november 2013 . Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från japanskspråkiga Wikipedia , アペリーの定数 , 5 november 2013 . Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från tyskspråkiga Wikipedia , Apéry-Konstante , 25 november 2013 .
^ Wedeniwski, Sebastian (2001). Simon Plouffe. red. The Value of Zeta(3) to 1,000,000 places . http://www.gutenberg.org/cache/epub/2583/pg2583.html ^ Euler, Leonhard (1773). ”Exercitationes analyticae” (på latin). Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae 17: sid. 173–204. http://math.dartmouth.edu/~euler/docs/originals/E432.pdf . Läst 18 maj 2008 . ^ Plouffe, Simon (1998). ”Identities inspired from Ramanujan Notebooks II” . Arkiverad från originalet den 30 januari 2009. https://web.archive.org/web/20090130142844/http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/identities.html . Läst 15 november 2021 . ^ Markov, A. A. (1890). ”Mémoire sur la transformation des séries peu convergentes en séries très convergentes”. Mém. De l'Acad. Imp. Sci. De St. Pétersbourg t. XXXVII, No. 9: sid. 18pp. ^ Hjortnaes, M. M. (augusti 1953). ”Overføring av rekken
∑
k
=
1
∞
(
1
k
3
)
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{k^{3}}}\right)}
Proc. 12th Scandinavian Mathematical Congress ^ Apéry, Roger (1979). ”Irrationalité de
ζ
2
{\displaystyle \zeta 2}
ζ
3
{\displaystyle \zeta 3}
. Astérisque 61: sid. 11–13. http://www.numdam.org/item/AST_1979__61__11_0/ . ^ Berndt, Bruce C. (1989). Ramanujan's notebooks, Part II Springer 
![{\displaystyle \zeta (3)={\frac {\pi ^{2}}{7}}\left[1-4\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2k)}{(2k+1)(2k+2)2^{2k}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/886d279e5edea854b33428eb4d8b194355adf377)
