Kvadratroten ur 2

Kvadratroten ur 2 (√2)
Irrationella tal  ζ(3) – E – e – γ – δ – φ – √2 – √3 – √5 – π – ρ – ρ – δS – 12√2
Hypotenusan av en rätvinklig triangel med kateterlängderna 1, har längden √2.
Decimalutveckling	1,4142135623730950488…
Diofantiska approximationer	3⁄2; 7⁄5; 17⁄12; 41⁄29; 99⁄70; 239⁄169; 577⁄408; 1393⁄985; 3363⁄2378; 8119⁄5741; 19601⁄13860 (sorterade efter ökande precision)

Kvadratroten ur 2 eller roten ur 2, är det positiva tal vars kvadrat är lika med 2. I geometrin är kvadratroten ur 2, det tal som anger längden av diagonalen i en kvadrat, vars sida har längden 1. Roten ur två är även förhållandet mellan längd och bredd på papper i A-format.

Roten ur två används bland annat för de olika stegen på ett objektivs bländare. Talet, kvadratroten ur 2, avrundat till de tio första decimalerna 1,4142135624 (talföljd A002193 i OEIS)

Att talet inte är rationellt, visades redan av pythagoréerna på 400-talet före Kristus.

Vanligen visas att kvadratroten ur 2 inte är rationellt, det vill säga irrationellt, med ett så kallat reductio ad absurdum- eller motsägelsebevis.

Pythagoréernas klassiska motsägelsebevis från cirka 450 före Kristus

Antag att √2 är ett rationellt tal, det vill säga att det finns heltal a och b sådana att

${\frac {a}{b}}={\sqrt {2}}\qquad {\text{(1)}}$

där kvoten

${\frac {a}{b}}$

är förkortad så långt som möjligt, det vill säga att a och b inte har några gemensamma faktorer.

Kvadrering av (1) ger

${\frac {a^{2}}{b^{2}}}=2$

eller

$\ a^{2}=2b^{2}\qquad {\text{(2)}}$

Härav följer att a² är ett jämnt tal och således även att a är jämnt, vilket enligt antagandet ovan, medför att b är udda.

Eftersom a är ett jämnt tal kan a skrivas som

$\ a=2k$

där k är ett heltal. Om 2k sätts in för a i (2) erhålls

$\ 4k^{2}=2b^{2}$

eller

$\ 2k^{2}=b^{2}$

Då är b² jämnt och därmed är även b jämnt, vilket strider emot det nyss visade, att b är udda.

Antagandet har därmed lett fram till en kontradiktion och är därför falskt. Alltså är √2 irrationellt.

Q.E.D.

Motsägelsebevis från cirka 300 före Kristus, grundat på aritmetikens fundamentalsats

Antag att roten ur 2 är ett rationellt tal. Talet kan då skrivas som en kvot av två heltal:

${\sqrt {2}}={\frac {p}{q}}$

Kvadrering av båda leden ger

$2={\frac {p^{2}}{q^{2}}}$

Enligt aritmetikens fundamentalsats kan p uppdelas i n primtalsfaktorer enligt

$p=p_{1}\cdot p_{2}\cdot p_{3}\cdot ...\cdot p_{n}\,$

och på samma sätt kan q uppdelas i m primfaktorer,

$q=q_{1}\cdot q_{2}\cdot q_{3}\cdot ...\cdot q_{m}\,$

Då antalet primfaktorer i ett kvadratiskt tal är jämnt, följer att såväl p² som q² har ett jämnt antal primfaktorer. Enligt den andra ekvationen ovan har p², förutom en faktor 2, samma primfaktorer som q². Därmed måste p² ha ett udda antal primfaktorer, vilket strider mot det nyss visade. Antagandet har därmed lett fram till en kontradiktion och därför är det, enligt reductio ad absurdum-regeln, falskt att roten ur 2 är rationellt.

Q.E.D.

Referenser

Övriga källor

• Morris Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, New York, Oxford University Press 1972.